Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2+x-12 ,

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut adalah 61 satuan luas.

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 + x - 12$, sumbu X, $x = -4$, dan $x = 4$, kita perlu menggunakan integral tentu.

Langkah pertama adalah mencari titik potong kurva dengan sumbu X (di mana $y=0$) untuk mengetahui apakah ada bagian kurva yang berada di bawah sumbu X dalam interval $[-4, 4]$.
$x^2 + x - 12 = 0$
$(x+4)(x-3) = 0$
$x = -4$ atau $x = 3$.

Ini berarti kurva memotong sumbu X di $x = -4$ dan $x = 3$. Dalam interval $[-4, 4]$, ada dua bagian daerah yang perlu dihitung luasnya: dari $x = -4$ sampai $x = 3$, dan dari $x = 3$ sampai $x = 4$.

Kita perlu mengecek tanda fungsi $y = x^2 + x - 12$ pada interval $(-4, 3)$ dan $(3, 4)$.
Ambil $x = 0$ (dalam $(-4, 3)$): $y = 0^2 + 0 - 12 = -12$. Jadi, kurva berada di bawah sumbu X pada interval ini.
Ambil $x = 3.5$ (dalam $(3, 4)$): $y = (3.5)^2 + 3.5 - 12 = 12.25 + 3.5 - 12 = 3.75$. Jadi, kurva berada di atas sumbu X pada interval ini.

Luas daerah di bawah sumbu X (dari $x=-4$ ke $x=3$) dihitung dengan integral negatif:
$L_1 = -\int_{-4}^{3} (x^2 + x - 12) dx$
$L_1 = - \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 12x \right]_{-4}^{3}$
$L_1 = - \left[ (\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} - 12(3)) - (\frac{(-4)^3}{3} + \frac{(-4)^2}{2} - 12(-4)) \right]$
$L_1 = - \left[ (\frac{27}{3} + \frac{9}{2} - 36) - (\frac{-64}{3} + \frac{16}{2} + 48) \right]$
$L_1 = - \left[ (9 + 4.5 - 36) - (-\frac{64}{3} + 8 + 48) \right]$
$L_1 = - \left[ (13.5 - 36) - (-\frac{64}{3} + 56) \right]$
$L_1 = - \left[ -22.5 - (-\frac{64}{3} + \frac{168}{3}) \right]$
$L_1 = - \left[ -22.5 - (\frac{104}{3}) \right]$
$L_1 = - \left[ -\frac{45}{2} - \frac{104}{3} \right]$
$L_1 = - \left[ -\frac{135}{6} - \frac{208}{6} \right]$
$L_1 = - \left[ -\frac{343}{6} \right]$
$L_1 = \frac{343}{6}$

Luas daerah di atas sumbu X (dari $x=3$ ke $x=4$) dihitung dengan integral positif:
$L_2 = \int_{3}^{4} (x^2 + x - 12) dx$
$L_2 = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 12x \right]_{3}^{4}$
$L_2 = \left[ (\frac{4^3}{3} + \frac{4^2}{2} - 12(4)) - (\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} - 12(3)) \right]$
$L_2 = \left[ (\frac{64}{3} + \frac{16}{2} - 48) - (\frac{27}{3} + \frac{9}{2} - 36) \right]$
$L_2 = \left[ (\frac{64}{3} + 8 - 48) - (9 + 4.5 - 36) \right]$
$L_2 = \left[ (\frac{64}{3} - 40) - (-22.5) \right]$
$L_2 = \left[ (\frac{64}{3} - \frac{120}{3}) + 22.5 \right]$
$L_2 = \left[ -\frac{56}{3} + \frac{45}{2} \right]$
$L_2 = \left[ -\frac{112}{6} + \frac{135}{6} \right]$
$L_2 = \frac{23}{6}$

Luas total adalah jumlah kedua luas tersebut:
$L_{total} = L_1 + L_2$
$L_{total} = \frac{343}{6} + \frac{23}{6}$
$L_{total} = \frac{366}{6}$
$L_{total} = 61$

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2+x-12$, sumbu X, $x=-4$, dan $x=4$ adalah 61 satuan luas.