Hitunglah nilai limit berikut. limit x->0 (tan x-sin

1/2

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$, kita bisa menggunakan ekspansi deret Taylor untuk $\tan x$ dan $\sin x$ di sekitar $x=0$. \\ $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ \\ $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ \\ Maka, $\tan x - \sin x = (x + \frac{x^3}{3}) - (x - \frac{x^3}{6}) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} = \frac{2x^3 + x^3}{6} = \frac{3x^3}{6} = \frac{x^3}{2}$. \\ Sehingga, $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{x^3/2}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. \\ Cara lain adalah dengan menggunakan aturan L'Hopital. \\ $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ (Bentuk 0/0) \\ = $\lim_{x\to 0} \frac{\sec^2 x - \cos x}{3x^2}$ (Bentuk 0/0) \\ = $\lim_{x\to 0} \frac{2\sec x(\sec x \tan x) + \sin x}{6x}$ (Bentuk 0/0) \\ = $\lim_{x\to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x + \sin x}{6x}$ \\ = $\lim_{x\to 0} \frac{2(1)^2(0) + 0}{6(0)}$ \\ = $\lim_{x\to 0} \frac{2\sec^2 x \tan x}{6x} + \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{6x}$ \\ = $\frac{2}{6} \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} \times \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{6} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$ \\ = $\frac{1}{3}(1)(1) + \frac{1}{6}(1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.