Hitunglah nilai limit fungsi berikut.limit x ->-1

4

Pembahasan

Untuk menghitung limit fungsi rasional saat x mendekati suatu nilai, kita bisa langsung substitusikan nilai x tersebut ke dalam fungsi jika penyebutnya tidak nol. Jika penyebutnya nol, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut terlebih dahulu, misalnya dengan faktorisasi atau menggunakan aturan L'Hôpital jika bentuknya tak tentu (0/0 atau ∞/∞).

Untuk fungsi: limit x ->-1 (4x^4+3x^3-7x^2-7x-1)/(2x^5+4x^4-4x^3-14x^2-10x-2)

Substitusikan x = -1:
Pembilang: 4(-1)^4 + 3(-1)^3 - 7(-1)^2 - 7(-1) - 1 = 4(1) + 3(-1) - 7(1) - 7(-1) - 1 = 4 - 3 - 7 + 7 - 1 = 0

Penyebut: 2(-1)^5 + 4(-1)^4 - 4(-1)^3 - 14(-1)^2 - 10(-1) - 2 = 2(-1) + 4(1) - 4(-1) - 14(1) - 10(-1) - 2 = -2 + 4 + 4 - 14 + 10 - 2 = 0

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau faktorisasi. Menggunakan aturan L'Hôpital, kita turunkan pembilang dan penyebut:

Turunan Pembilang: d/dx (4x^4+3x^3-7x^2-7x-1) = 16x^3 + 9x^2 - 14x - 7
Turunan Penyebut: d/dx (2x^5+4x^4-4x^3-14x^2-10x-2) = 10x^4 + 16x^3 - 12x^2 - 28x - 10

Sekarang substitusikan x = -1 ke turunan:

Pembilang turunan: 16(-1)^3 + 9(-1)^2 - 14(-1) - 7 = 16(-1) + 9(1) + 14 - 7 = -16 + 9 + 14 - 7 = 0

Penyebut turunan: 10(-1)^4 + 16(-1)^3 - 12(-1)^2 - 28(-1) - 10 = 10(1) + 16(-1) - 12(1) + 28 - 10 = 10 - 16 - 12 + 28 - 10 = 0

Karena masih bentuk tak tentu 0/0, kita terapkan aturan L'Hôpital lagi:

Turunan kedua Pembilang: d/dx (16x^3 + 9x^2 - 14x - 7) = 48x^2 + 18x - 14
Turunan kedua Penyebut: d/dx (10x^4 + 16x^3 - 12x^2 - 28x - 10) = 40x^3 + 48x^2 - 24x - 28

Substitusikan x = -1 ke turunan kedua:

Pembilang turunan kedua: 48(-1)^2 + 18(-1) - 14 = 48(1) - 18 - 14 = 48 - 18 - 14 = 16

Penyebut turunan kedua: 40(-1)^3 + 48(-1)^2 - 24(-1) - 28 = 40(-1) + 48(1) + 24 - 28 = -40 + 48 + 24 - 28 = 4

Jadi, nilai limitnya adalah 16/4 = 4.