Hitunglah nilai limit : lim x -> 0 (2 sin ^(2) 3

Nilai limitnya adalah 18.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit dari \(\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 3x}{x^2}\), kita dapat menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, khususnya \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1\).

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Manipulasi bentuk fungsi agar sesuai dengan sifat limit trigonometri:
   \(\frac{2 \sin^2 3x}{x^2} = 2 \cdot \left(\frac{\sin 3x}{x}\right) \cdot \left(\frac{\sin 3x}{x}\right)\)

2. Agar sesuai dengan \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1\), kita perlu mengalikan dan membagi dengan \(3x\) di dalam \(\frac{\sin 3x}{x}\).
   \(2 \cdot \left(\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right) \cdot \left(\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right)\)

3. Sekarang kita terapkan limitnya:
   \(\lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right) \cdot \left(\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right)\)
   
4. Gunakan sifat limit perkalian dan sifat \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1\):
   \(= 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3\right)\)
   \(= 2 \cdot (1 \cdot 3) \cdot (1 \cdot 3)\)
   \(= 2 \cdot 3 \cdot 3\)
   \(= 18\)

Jadi, nilai limitnya adalah 18.