Hitunglah nilai limit x mendekati tak hingga (4

Nilai limitnya adalah √2.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit x mendekati tak hingga dari \(\frac{(4x-1)(2+\sqrt{x})}{\sqrt{8x^3-2}}\), kita perlu menganalisis suku dengan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Perluas pembilang:
   Pembilang = \((4x-1)(2+\sqrt{x})\) = \(4x \cdot 2 + 4x \cdot \sqrt{x} - 1 \cdot 2 - 1 \cdot \sqrt{x})\) = \(8x + 4x^{3/2} - 2 - \sqrt{x}\)

   Suku dengan pangkat tertinggi di pembilang adalah \(4x^{3/2}\).

2. Identifikasi suku dengan pangkat tertinggi di penyebut:
   Penyebut = \(\sqrt{8x^3-2}\)
   Di dalam akar, suku dengan pangkat tertinggi adalah \(8x^3\).
   Ketika kita mengambil akar kuadrat, pangkatnya menjadi setengahnya: \(\sqrt{x^3} = x^{3/2}\).
   Jadi, suku dominan di penyebut adalah \(\sqrt{8x^3} = \sqrt{8} x^{3/2}\).

3. Bandingkan pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut:
   Pangkat tertinggi di pembilang adalah \(x^{3/2}\).
   Pangkat tertinggi di penyebut juga \(x^{3/2}\).

   Karena pangkat tertinggi di pembilang dan penyebut sama, nilai limit akan berupa perbandingan koefisien dari suku-suku tersebut.

4. Tentukan koefisien dari suku pangkat tertinggi:
   Koefisien dari \(x^{3/2}\) di pembilang adalah 4.
   Koefisien dari \(x^{3/2}\) di penyebut adalah \(\sqrt{8}\) = \(2\sqrt{2}\).

5. Hitung nilai limit:
   Limit = \(\frac{\text{Koefisien pembilang}}{\text{Koefisien penyebut}}\)
   Limit = \(\frac{4}{\sqrt{8}}\)
   Limit = \(\frac{4}{2\sqrt{2}}\)
   Limit = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)

6. Rasionalkan penyebut:
   Limit = \(\frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
   Limit = \(\frac{2\sqrt{2}}{2}\)
   Limit = \(\sqrt{2}\)

Jadi, nilai limit x mendekati tak hingga dari \(\frac{(4x-1)(2+\sqrt{x})}{\sqrt{8x^3-2}}\) adalah \(\sqrt{2}\).