integral -1 2 (4x^2-x+5) dx=...

\(\frac{51}{2}\) atau 25,5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu dari fungsi \(4x^2 - x + 5\) dari -1 hingga 2, kita perlu mencari antiturunan dari fungsi tersebut terlebih dahulu, lalu mengevaluasinya pada batas atas dan batas bawah, dan mengurangkan hasilnya.

Antiturunan dari \(4x^2\) adalah \(\frac{4}{3}x^3\).
Antiturunan dari \(-x\) adalah \(-\frac{1}{2}x^2\).
Antiturunan dari \(5\) adalah \(5x\).

Jadi, antiturunan dari \(4x^2 - x + 5\) adalah \(\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 5x\).

Selanjutnya, kita evaluasi antiturunan ini pada batas atas (2) dan batas bawah (-1):

Evaluasi pada batas atas (x=2):
\(\frac{4}{3}(2)^3 - \frac{1}{2}(2)^2 + 5(2) = \frac{4}{3}(8) - \frac{1}{2}(4) + 10 = \frac{32}{3} - 2 + 10 = \frac{32}{3} + 8 = \frac{32}{3} + \frac{24}{3} = \frac{56}{3}\)

Evaluasi pada batas bawah (x=-1):
\(\frac{4}{3}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1)^2 + 5(-1) = \frac{4}{3}(-1) - \frac{1}{2}(1) - 5 = -\frac{4}{3} - \frac{1}{2} - 5\)
Untuk menjumlahkan pecahan ini, kita cari KPK dari 3 dan 2, yaitu 6:
\(= -\frac{8}{6} - \frac{3}{6} - \frac{30}{6} = -\frac{41}{6}\)

Terakhir, kurangkan hasil evaluasi pada batas bawah dari hasil evaluasi pada batas atas:
\(\frac{56}{3} - (-\frac{41}{6}) = \frac{56}{3} + \frac{41}{6}\)
Samakan penyebutnya menjadi 6:
\(= \frac{112}{6} + \frac{41}{6} = \frac{153}{6}\)

Sederhanakan pecahan \(\frac{153}{6}\) dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:
\(= \frac{51}{2}\)

Jadi, hasil dari \(\int_{-1}^{2} (4x^2-x+5) dx\) adalah \(\frac{51}{2}\) atau 25,5.