integral (4(x-3)^2)/x^5 dx=....

-2/x² + 8/x³ - 9/x⁴ + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral ini, kita akan menggunakan metode substitusi atau manipulasi aljabar. Integral yang diberikan adalah ∫(4(x-3)²)/x⁵ dx.
Pertama, kita ekspansi (x-3)²: (x-3)² = x² - 6x + 9.
Jadi, integralnya menjadi ∫(4(x² - 6x + 9))/x⁵ dx.
Kita bisa memisahkan pecahan ini menjadi tiga bagian:
∫(4x²/x⁵) dx - ∫(24x/x⁵) dx + ∫(36/x⁵) dx
Sederhanakan setiap bagian:
∫4x⁻³ dx - ∫24x⁻⁴ dx + ∫36x⁻⁵ dx
Sekarang kita integralkan masing-masing suku menggunakan aturan pangkat ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C:
1. ∫4x⁻³ dx = 4 * (x⁻³⁺¹)/(-3+1) = 4 * (x⁻²)/(-2) = -2x⁻² = -2/x².
2. ∫24x⁻⁴ dx = 24 * (x⁻⁴⁺¹)/(-4+1) = 24 * (x⁻³)/(-3) = -8x⁻³ = -8/x³.
3. ∫36x⁻⁵ dx = 36 * (x⁻⁵⁺¹)/(-5+1) = 36 * (x⁻⁴)/(-4) = -9x⁻⁴ = -9/x⁴.
Menggabungkan hasil integralnya:
-2/x² - (-8/x³) + (-9/x⁴) + C
= -2/x² + 8/x³ - 9/x⁴ + C.