integral x^3.akar(1-4 x^2) dx=...

(-1/48)(1 - 4x^2)^(3/2) + (1/80)(1 - 4x^2)^(5/2) + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari x^3 * akar(1 - 4x^2) dx, kita dapat menggunakan substitusi. Misalkan u = 1 - 4x^2. Maka, du = -8x dx, atau x dx = -du/8. Kita juga perlu mengekspresikan x^2 dalam bentuk u: 4x^2 = 1 - u, sehingga x^2 = (1 - u) / 4. Integral dapat ditulis ulang sebagai: integral x^2 * akar(1 - 4x^2) * (x dx). Substitusikan u dan x dx: integral [(1 - u) / 4] * sqrt(u) * (-du/8). Keluarkan konstanta: (-1/32) * integral (1 - u) * u^(1/2) du. Distribusikan u^(1/2): (-1/32) * integral (u^(1/2) - u^(3/2)) du. Sekarang integralkan terhadap u: (-1/32) * [ (u^(3/2)) / (3/2) - (u^(5/2)) / (5/2) ] + C. Sederhanakan: (-1/32) * [ (2/3)u^(3/2) - (2/5)u^(5/2) ] + C. Kembalikan substitusi u = 1 - 4x^2: (-1/32) * [ (2/3)(1 - 4x^2)^(3/2) - (2/5)(1 - 4x^2)^(5/2) ] + C. Kalikan konstanta ke dalam kurung: (-1/48)(1 - 4x^2)^(3/2) + (1/80)(1 - 4x^2)^(5/2) + C.