Invers dan domain dari y=f(x)=4x^2-16 x dengan x >= 2

f⁻¹(x) = 2 + √( (16 + x) / 4 ), D f⁻¹ = {x | x ∈ R, x ≥ -16}

Pembahasan

Untuk mencari invers dan domain dari fungsi y = f(x) = 4x^2 - 16x dengan syarat x ≥ 2, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Mencari Invers (f⁻¹(x))**:
    *   Ganti f(x) dengan y: y = 4x² - 16x
    *   Tukar x dan y: x = 4y² - 16y
    *   Susun ulang menjadi persamaan kuadrat dalam y: 4y² - 16y - x = 0
    *   Gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan y: y = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a
        Di sini, a = 4, b = -16, c = -x.
    *   Substitusikan nilai a, b, dan c:
        y = [16 ± √((-16)² - 4 * 4 * (-x))] / (2 * 4)
        y = [16 ± √(256 + 16x)] / 8
        y = [16 ± √(16(16 + x))] / 8
        y = [16 ± 4√(16 + x)] / 8
        y = [4 ± √(16 + x)] / 2
        y = 2 ± √(16 + x) / 2
        y = 2 ± √( (16 + x) / 4 )

    Karena syarat awal adalah x ≥ 2, kita perlu menentukan bagian mana dari ± yang memenuhi. Jika kita menggunakan y = 2 + √( (16 + x) / 4 ), ini akan menghasilkan nilai y yang lebih besar dari atau sama dengan 2.
    Jadi, inversnya adalah f⁻¹(x) = 2 + √( (16 + x) / 4 ).

2.  **Mencari Domain Invers (D f⁻¹)**:
    *   Domain dari fungsi invers adalah jangkauan (range) dari fungsi aslinya.
    *   Fungsi aslinya adalah f(x) = 4x² - 16x dengan x ≥ 2. Ini adalah parabola yang terbuka ke atas.
    *   Titik puncak parabola dapat ditemukan dengan rumus x = -b / 2a. Dalam kasus ini, x = -(-16) / (2 * 4) = 16 / 8 = 2.
    *   Karena domain fungsi asli adalah x ≥ 2, nilai minimum fungsi terjadi pada x = 2.
    *   Hitung nilai minimum f(x) pada x = 2: f(2) = 4(2)² - 16(2) = 4(4) - 32 = 16 - 32 = -16.
    *   Karena parabola terbuka ke atas dan domainnya dimulai dari x = 2, jangkauan fungsi (dan domain invers) adalah y ≥ -16.

Jadi, invers dari fungsi tersebut adalah f⁻¹(x) = 2 + √( (16 + x) / 4 ) dengan domain D f⁻¹ = {x | x ∈ R, x ≥ -16}.