Nilai minimum dari fungsi kuadrat f(x)=(a+3)x^2+(a+1)x+a

a. Nilai a = -2. b. Sketsa grafik parabola terbuka ke atas dengan puncak di (0.5, -2.25) dalam domain [-5, 5].

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan nilai 'a' berdasarkan informasi tentang nilai minimum fungsi kuadrat dan kemudian menggambar sketsa grafiknya.

Fungsi kuadrat: f(x) = (a+3)x² + (a+1)x + a
Nilai minimum fungsi kuadrat f(x) = Ax² + Bx + C adalah y_min = -D / 4A, di mana D adalah diskriminan (D = B² - 4AC).
Dalam kasus ini, A = a+3, B = a+1, C = a.

Nilai minimum yang diberikan adalah -2 1/4 = -9/4.

Bagian a: Menghitung nilai a.

Langkah 1: Hitung diskriminan (D).
D = B² - 4AC
D = (a+1)² - 4(a+3)(a)
D = (a² + 2a + 1) - 4(a² + 3a)
D = a² + 2a + 1 - 4a² - 12a
D = -3a² - 10a + 1

Langkah 2: Gunakan rumus nilai minimum.
y_min = -D / 4A
-9/4 = -(-3a² - 10a + 1) / (4(a+3))
-9/4 = (3a² + 10a - 1) / (4a + 12)

Kita bisa menyederhanakan dengan membagi kedua sisi dengan 4 (jika penyebutnya tidak nol):
-9 = (3a² + 10a - 1) / (a + 3)
-9(a + 3) = 3a² + 10a - 1
-9a - 27 = 3a² + 10a - 1
0 = 3a² + 10a + 9a - 1 + 27
0 = 3a² + 19a + 26

Sekarang kita faktorkan persamaan kuadrat ini untuk mencari nilai 'a'. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 3 * 26 = 78 dan jika dijumlahkan menghasilkan 19. Bilangan tersebut adalah 13 dan 6.
0 = 3a² + 6a + 13a + 26
0 = 3a(a + 2) + 13(a + 2)
0 = (3a + 13)(a + 2)

Maka, solusi untuk 'a' adalah:
3a + 13 = 0  => a = -13/3
a + 2 = 0  => a = -2

Kita harus memeriksa kedua nilai 'a' ini. Fungsi kuadrat memiliki nilai minimum jika koefisien x² (yaitu, A = a+3) positif. Jika A negatif, fungsi memiliki nilai maksimum.

Kasus 1: a = -2
A = a+3 = -2 + 3 = 1. Karena A = 1 > 0, fungsi ini memiliki nilai minimum. Mari kita cek nilai minimumnya.
f(x) = (1)x² + (-2+1)x + (-2) = x² - x - 2
Titik puncak (vertex) x = -B / 2A = -(-1) / (2*1) = 1/2.
y_min = f(1/2) = (1/2)² - (1/2) - 2 = 1/4 - 1/2 - 2 = 1/4 - 2/4 - 8/4 = -9/4. Ini cocok dengan soal.

Kasus 2: a = -13/3
A = a+3 = -13/3 + 3 = -13/3 + 9/3 = -4/3. Karena A = -4/3 < 0, fungsi ini memiliki nilai maksimum, bukan minimum. Jadi, a = -13/3 tidak memenuhi syarat.

Oleh karena itu, nilai a yang memenuhi adalah a = -2.

Bagian b: Menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat.
Fungsi kuadratnya adalah f(x) = x² - x - 2 (dengan a = -2).
Domain: {-5 ≤ x ≤ 5}

1.  Titik Puncak (Vertex):
    x_puncak = -B / 2A = 1/2
y_puncak = f(1/2) = -9/4 = -2.25
    Titik puncak adalah (0.5, -2.25).

2.  Titik Potong Sumbu Y:
    Saat x = 0, f(0) = 0² - 0 - 2 = -2.
    Titik potong sumbu y adalah (0, -2).

3.  Titik Potong Sumbu X (Akar-akar):
    f(x) = 0 => x² - x - 2 = 0
    (x - 2)(x + 1) = 0
    x = 2 atau x = -1.
    Titik potong sumbu x adalah (-1, 0) dan (2, 0).

4.  Nilai fungsi di batas domain:
    x = -5: f(-5) = (-5)² - (-5) - 2 = 25 + 5 - 2 = 28.
    x = 5: f(5) = (5)² - (5) - 2 = 25 - 5 - 2 = 18.

Sketsa Grafik:
Grafik adalah parabola terbuka ke atas (karena koefisien x² positif).
-   Puncak berada di (0.5, -2.25).
-   Memotong sumbu y di (0, -2).
-   Memotong sumbu x di (-1, 0) dan (2, 0).
-   Pada x = -5, nilai y = 28.
-   Pada x = 5, nilai y = 18.

Gambarkan sumbu x dan y. Tandai titik-titik penting: (-1, 0), (0, -2), (0.5, -2.25), (2, 0). Perluas kurva parabola ke kiri hingga x=-5 (y=28) dan ke kanan hingga x=5 (y=18). Pastikan bentuk parabola terlihat benar (terbuka ke atas, simetris terhadap garis x=0.5).

Jawaban:
a. Nilai a = -2.
b. Sketsa grafik adalah parabola terbuka ke atas dengan puncak di (0.5, -2.25), memotong sumbu x di -1 dan 2, memotong sumbu y di -2. Grafik dibatasi pada domain x dari -5 hingga 5.