Isilah titik-titik dengan jawaban yang benar. Himpunan

$x \le -\frac{34}{11}$

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan $\sqrt{x^2 - 3x - 18} - |x + 4| \ge 0$.
Ini setara dengan $\sqrt{x^2 - 3x - 18} \ge |x + 4|$.

Agar akar kuadrat terdefinisi, kita harus memiliki $x^2 - 3x - 18 \ge 0$.
Faktorkan kuadratik: $(x - 6)(x + 3) \ge 0$.
Ini berlaku ketika $x \le -3$ atau $x \ge 6$.

Karena kedua sisi pertidaksamaan $\sqrt{x^2 - 3x - 18} \ge |x + 4|$ adalah non-negatif (akar kuadrat selalu non-negatif, dan nilai absolut selalu non-negatif), kita bisa mengkuadratkan kedua sisi tanpa mengubah arah pertidaksamaan:
$x^2 - 3x - 18 \ge (|x + 4|)^2$
$x^2 - 3x - 18 \ge (x + 4)^2$
$x^2 - 3x - 18 \ge x^2 + 8x + 16$

Kurangi $x^2$ dari kedua sisi:
$-3x - 18 \ge 8x + 16$

Pindahkan semua suku $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
$-18 - 16 \ge 8x + 3x$
$-34 \ge 11x$

Bagi kedua sisi dengan 11 (dan balik arah pertidaksamaan karena kita membagi dengan bilangan positif):
$x \le -\frac{34}{11}$

Sekarang kita perlu menggabungkan kondisi ini dengan kondisi agar akar kuadrat terdefinisi ($x \le -3$ atau $x \ge 6$).
Nilai $-\frac{34}{11}$ adalah sekitar $-3.09$. Jadi, $-3.09 \le -3$.

Pertidaksamaan $x \le -\frac{34}{11}$ berarti $x$ harus kurang dari atau sama dengan $-3.09$ (sekitar).

Kondisi agar akar terdefinisi adalah $x \le -3$ atau $x \ge 6$.

Kita cari irisan dari $x \le -\frac{34}{11}$ dan ($x \le -3$ atau $x \ge 6$).

Karena $-\frac{34}{11} \approx -3.09$, maka $x \le -\frac{34}{11}$ berarti $x$ berada dalam interval $(-\infty, -\frac{34}{11}]$.

Kondisi domain adalah $x$ berada dalam interval $(-\infty, -3] \cup [6, \infty)$.

Kita perlu mencari irisan dari $(-\infty, -\frac{34}{11}]$ dan $(-\infty, -3] \cup [6, \infty)$.

Karena $-\frac{34}{11} < -3$, maka irisan dari $(-\infty, -\frac{34}{11}]$ dan $(-\infty, -3]$ adalah $(-\infty, -\frac{34}{11}]$.

Irisan dari $(-\infty, -\frac{34}{11}]$ dan $[6, \infty)$ adalah himpunan kosong, karena tidak ada angka yang lebih kecil dari $-3.09$ dan sekaligus lebih besar dari atau sama dengan $6$.

Jadi, satu-satunya bagian yang memenuhi adalah $x \le -\frac{34}{11}$.

Himpunan penyelesaiannya adalah $x \in (-\infty, -\frac{34}{11}]$.