Jarak titik D ke bidang ACH pada kubus ABCD.EFGH dengan

Jarak titik D ke bidang ACH adalah 1 cm.

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik D ke bidang ACH pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a = √3 cm, kita dapat menggunakan konsep vektor atau rumus jarak titik ke bidang.
Metode Vektor:
Pilih titik A sebagai titik acuan (0,0,0).
Koordinat titik D = (a, 0, 0) = (√3, 0, 0).
Bidang ACH dibentuk oleh vektor AC dan AH.
AC = C - A = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0) = (√3, √3, 0).
AH = H - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a) = (0, √3, √3).
Untuk mencari vektor normal (n) bidang ACH, kita lakukan perkalian silang AC x AH:
n = AC x AH = | i  j  k |
              | √3 √3 0 |
              | 0  √3 √3 |
n = i(√3 * √3 - 0 * √3) - j(√3 * √3 - 0 * 0) + k(√3 * √3 - 0 * √3)
n = i(3 - 0) - j(3 - 0) + k(3 - 0)
n = 3i - 3j + 3k = (3, -3, 3).
Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi n = (1, -1, 1).
Persamaan bidang ACH adalah ax + by + cz = d, di mana (a, b, c) adalah vektor normal. Jadi, persamaannya adalah 1x - 1y + 1z = d.
Karena titik A(0,0,0) berada pada bidang, kita substitusikan untuk mencari d: 1(0) - 1(0) + 1(0) = d, sehingga d = 0.
Persamaan bidang ACH adalah x - y + z = 0.
Jarak dari titik D(√3, 0, 0) ke bidang x - y + z = 0 adalah:
Jarak = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ - d| / √(A² + B² + C²)
Jarak = |1(√3) + (-1)(0) + 1(0) - 0| / √(1² + (-1)² + 1²)
Jarak = |√3| / √(1 + 1 + 1)
Jarak = √3 / √3
Jarak = 1 cm.

Metode Geometri:
Jarak titik D ke bidang ACH adalah panjang garis tegak lurus dari D ke bidang ACH. Garis ini akan memotong bidang ACH di suatu titik, misalnya P. Segitiga ADH adalah segitiga siku-siku di A. Diagonal AG = √(a² + a² + a²) = a√3. Diagonal AC = a√2. Diagonal AH = a√2.
Pertimbangkan segitiga ADH, AD = a, DH = a, AH = a√2. Ini adalah segitiga siku-siku di D.
Consider the projection of D onto the plane ACH. The point D is connected to A, C, H. We need to find the shortest distance from D to the plane ACH. 
The distance from a vertex to the diagonal plane of a cube with side length 'a' is given by the formula a/√2. In this case, the side length is √3 cm. Therefore, the distance from D to the plane ACH is √3 / √2 = √(3/2) = √6 / 2 cm.
Let's recheck the first method. The coordinates seem correct. A=(0,0,0), D=(a,0,0), C=(a,a,0), H=(0,a,a). Vector AC = (a,a,0). Vector AH = (0,a,a). Normal vector n = AC x AH = (a², -a², a²) which simplifies to (a, -a, a) or (1,-1,1). The equation of the plane ACH is x - y + z = 0. The distance from D(a,0,0) to the plane is |1*a - 1*0 + 1*0 - 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2) = |a| / sqrt(3). Given a = √3, the distance is √3 / √3 = 1 cm.

Let's re-evaluate the geometrical approach.
The plane ACH is a diagonal plane. The vertex D is adjacent to A. The distance from D to the plane ACH is the height of the tetrahedron D-ACH from vertex D to the base ACH. The volume of the tetrahedron can be calculated in two ways.
Volume = 1/3 * Area(ACH) * height (from D to ACH).
Area(ACH) = 1/2 * |AC x AH| = 1/2 * |(a,a,0) x (0,a,a)| = 1/2 * |(a^2, -a^2, a^2)| = 1/2 * sqrt(a^4 + a^4 + a^4) = 1/2 * sqrt(3a^4) = (a^2√3)/2.
Consider the tetrahedron formed by vertices D, A, C, H. Let's calculate the volume using a different base. Consider triangle ADC as the base. Area(ADC) = 1/2 * AD * DC = 1/2 * a * a = a²/2. The height from H to the plane ADC is 'a'. So Volume = 1/3 * Area(ADC) * height = 1/3 * (a²/2) * a = a³/6.
Now equate the volumes: 1/3 * Area(ACH) * height = Volume.
1/3 * (a²√3)/2 * height = a³/6.
(a²√3)/6 * height = a³/6.
height = (a³/6) * (6 / (a²√3)) = a/√3.
Given a = √3 cm, height = √3 / √3 = 1 cm.