Jenis titik stasioner yang dimiliki fungsi y=x^4-2x^3

Fungsi ini memiliki titik belok horizontal di x=0 dan titik minimum lokal di x=3/2.

Pembahasan

Untuk menentukan jenis titik stasioner dari fungsi y = x^4 - 2x^3, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. Turunan pertama (y') adalah turunan dari y terhadap x. y' = d/dx (x^4 - 2x^3) = 4x^3 - 6x^2. Titik stasioner terjadi ketika y' = 0. Jadi, 4x^3 - 6x^2 = 0. Kita bisa memfaktorkan x^2 dari persamaan: x^2(4x - 6) = 0. Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk x: x^2 = 0 => x = 0, atau 4x - 6 = 0 => 4x = 6 => x = 6/4 = 3/2.  Selanjutnya, kita cari turunan kedua (y'') untuk menguji jenis titik stasioner. y'' = d/dx (4x^3 - 6x^2) = 12x^2 - 12x.  Sekarang kita substitusikan nilai-nilai x yang kita dapatkan ke dalam turunan kedua.  Untuk x = 0: y'' = 12(0)^2 - 12(0) = 0.  Ketika turunan kedua bernilai 0, kita perlu menggunakan uji turunan pertama atau melihat perilaku fungsi di sekitar titik tersebut.  Mari kita uji nilai x di sekitar 0. Jika x = -0.1, y' = 4(-0.1)^3 - 6(-0.1)^2 = -0.004 - 0.06 = -0.064 (negatif). Jika x = 0.1, y' = 4(0.1)^3 - 6(0.1)^2 = 0.004 - 0.06 = -0.056 (negatif). Karena turunan pertama tidak berubah tanda di sekitar x=0 (tetap negatif), maka x=0 bukan titik balik maupun ekstremum, melainkan titik belok horizontal (horizontal inflection point).  Untuk x = 3/2: y'' = 12(3/2)^2 - 12(3/2) = 12(9/4) - 18 = 3 * 9 - 18 = 27 - 18 = 9.  Karena y'' > 0 pada x = 3/2, maka fungsi memiliki nilai minimum lokal di x = 3/2. Jadi, fungsi y=x^4-2x^3 memiliki titik belok horizontal di x=0 dan titik minimum lokal di x=3/2.