Jika 0<x<pi/2 , maka cot x+cot x.sin x+cot x.sin^2(x)+cot

cos x / (sin x - sin^2 x) atau sec x (cosec x + 1)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menjumlahkan deret tak hingga yang diberikan.
Deret tersebut adalah: cot x + cot x.sin x + cot x.sin^2(x) + cot x.sin^3(x) + cot x.sin^4(x) + ...
Kita bisa memfaktorkan cot x keluar dari setiap suku: cot x (1 + sin x + sin^2(x) + sin^3(x) + sin^4(x) + ...)
Bagian dalam kurung adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = sin x.
Karena 0 < x < pi/2, maka 0 < sin x < 1, sehingga deret geometri ini konvergen.
Jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r).
Dalam kasus ini, S = 1 / (1 - sin x).
Jadi, jumlah deret keseluruhan adalah cot x * [1 / (1 - sin x)].
Kita tahu bahwa cot x = cos x / sin x.
Maka, jumlahnya adalah (cos x / sin x) * [1 / (1 - sin x)] = cos x / [sin x (1 - sin x)].
Ini adalah bentuk paling sederhana dari jawaban.
Namun, seringkali soal seperti ini memiliki bentuk jawaban yang lebih disederhanakan lagi dengan menggunakan identitas trigonometri.
Mari kita coba kalikan pembilang dan penyebut dengan (1 + sin x):
[cos x (1 + sin x)] / [sin x (1 - sin x)(1 + sin x)]
= [cos x (1 + sin x)] / [sin x (1 - sin^2(x))]
Karena 1 - sin^2(x) = cos^2(x), maka:
= [cos x (1 + sin x)] / [sin x (cos^2(x))]
= (1 + sin x) / (sin x cos x)
= 1/(sin x cos x) + sin x/(sin x cos x)
= 1/(sin x cos x) + 1/cos x
= cosec x sec x + sec x
= sec x (cosec x + 1)
Jika kita berhenti pada bentuk cos x / [sin x (1 - sin x)], itu juga sudah benar. Bergantung pada format jawaban yang diharapkan. Asumsi kita menginginkan bentuk yang lebih sederhana:
Jadi, jumlahnya adalah cos x / (sin x - sin^2 x).