Jika 180<=x<=360, tentukanlah himpunan penyelesaian dari

Himpunan penyelesaiannya adalah {197.5, 227.5}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sqrt{3}\csc(2x+25)=2$ dengan $180 \le x \le 360$, kita perlu mengisolasi fungsi cosecan terlebih dahulu. Bagi kedua sisi dengan $\sqrt{3}$ untuk mendapatkan $\csc(2x+25) = \frac{2}{\sqrt{3}}$. Karena $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$, maka $\sin(2x+25) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Nilai sinus yang sama dengan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ adalah 60 derajat atau $\frac{\pi}{3}$ radian, dan 120 derajat atau $\frac{2\pi}{3}$ radian. Karena fungsi sinus berulang setiap 360 derajat, solusi umumnya adalah:
$2x+25 = 60 + 360n$  atau  $2x+25 = 120 + 360n$, di mana $n$ adalah bilangan bulat.

Sekarang, kita selesaikan untuk $x$:
1. $2x+25 = 60 + 360n$
   $2x = 35 + 360n$
   $x = 17.5 + 180n$

2. $2x+25 = 120 + 360n$
   $2x = 95 + 360n$
   $x = 47.5 + 180n$

Sekarang kita perlu mencari nilai $x$ dalam rentang $180 \le x \le 360$:
Untuk solusi pertama ($x = 17.5 + 180n$):
Jika $n=0$, $x = 17.5$ (tidak dalam rentang)
Jika $n=1$, $x = 17.5 + 180 = 197.5$ (dalam rentang)
Jika $n=2$, $x = 17.5 + 360 = 377.5$ (tidak dalam rentang)

Untuk solusi kedua ($x = 47.5 + 180n$):
Jika $n=0$, $x = 47.5$ (tidak dalam rentang)
Jika $n=1$, $x = 47.5 + 180 = 227.5$ (dalam rentang)
Jika $n=2$, $x = 47.5 + 360 = 407.5$ (tidak dalam rentang)

Himpunan penyelesaiannya adalah {197.5, 227.5}.