Jika 2 cos (x + 1/4 pi) = cos (x - 1/4 pi), buktikan bahwa

Dengan menggunakan identitas trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan sudut, persamaan disederhanakan menjadi cos x = 3 sin x, yang setara dengan tan x = 1/3.

Pembahasan

Diketahui persamaan: 2 cos (x + 1/4 pi) = cos (x - 1/4 pi).
Kita akan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sudut untuk cosinus:
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B

Dengan A = x dan B = 1/4 pi:
cos(1/4 pi) = cos(45 derajat) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2
sin(1/4 pi) = sin(45 derajat) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2

Substitusikan ke dalam persamaan:
2 [cos x cos(1/4 pi) - sin x sin(1/4 pi)] = cos x cos(1/4 pi) + sin x sin(1/4 pi)
2 [cos x (sqrt(2)/2) - sin x (sqrt(2)/2)] = cos x (sqrt(2)/2) + sin x (sqrt(2)/2)

Kalikan kedua sisi dengan 2/sqrt(2) untuk menyederhanakan:
2 [cos x - sin x] = cos x + sin x
2 cos x - 2 sin x = cos x + sin x

Pindahkan semua suku cosinus ke satu sisi dan suku sinus ke sisi lain:
2 cos x - cos x = sin x + 2 sin x
cos x = 3 sin x

Untuk membuktikan tan x = 1/3, kita bagi kedua sisi dengan cos x (dengan asumsi cos x tidak sama dengan 0):
1 = 3 (sin x / cos x)
1 = 3 tan x

Bagi kedua sisi dengan 3:
tan x = 1/3

Ini membuktikan bahwa jika 2 cos (x + 1/4 pi) = cos (x - 1/4 pi), maka tan x = 1/3.