Tentukanlah semua skalar c1, c2, dan c3 yang memenuhi c1

c1 = -k, c2 = -k, c3 = k (k skalar sembarang)

Pembahasan

Jawaban:
Untuk menentukan skalar c1, c2, dan c3 yang memenuhi persamaan c1 (2,7,8) + c2 (1,-1,3) + c3 (3,6,11)=0, kita perlu mengubah persamaan vektor ini menjadi sistem persamaan linear.

Persamaan vektor dapat diuraikan menjadi komponen-komponennya:

Komponen x: 2c1 + 1c2 + 3c3 = 0  ...(1)
Komponen y: 7c1 - 1c2 + 6c3 = 0  ...(2)
Komponen z: 8c1 + 3c2 + 11c3 = 0 ...(3)

Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ini. Mari kita gunakan metode eliminasi.

Langkah 1: Eliminasi c2 dari persamaan (1) dan (2).
Tambahkan persamaan (1) dan (2):
(2c1 + c2 + 3c3) + (7c1 - c2 + 6c3) = 0 + 0
9c1 + 9c3 = 0
c1 + c3 = 0
c1 = -c3  ...(4)

Langkah 2: Eliminasi c2 dari persamaan (2) dan (3).
Kalikan persamaan (2) dengan 3:
3 * (7c1 - c2 + 6c3) = 3 * 0
21c1 - 3c2 + 18c3 = 0  ...(5)

Tambahkan persamaan (5) dan (3):
(21c1 - 3c2 + 18c3) + (8c1 + 3c2 + 11c3) = 0 + 0
29c1 + 29c3 = 0
c1 + c3 = 0
c1 = -c3  ...(6)

Perhatikan bahwa kedua eliminasi menghasilkan hubungan yang sama (c1 = -c3). Ini menunjukkan bahwa sistem ini memiliki solusi tak hingga (tergantung pada salah satu variabel).

Langkah 3: Substitusikan hasil dari (4) atau (6) ke salah satu persamaan awal untuk mencari hubungan dengan c2.
Mari substitusikan c1 = -c3 ke persamaan (1):
2(-c3) + c2 + 3c3 = 0
-2c3 + c2 + 3c3 = 0
c2 + c3 = 0
c2 = -c3  ...(7)

Jadi, kita mendapatkan hubungan:
c1 = -c3 dan c2 = -c3.

Ini berarti kita bisa memilih nilai sembarang untuk c3 (kecuali 0, agar tidak trivial), dan nilai c1 dan c2 akan ditentukan oleh hubungan ini.

Contoh solusi:
Jika kita pilih c3 = 1, maka c1 = -1 dan c2 = -1.
Mari kita cek:
-1(2,7,8) + -1(1,-1,3) + 1(3,6,11)
= (-2,-7,-8) + (-1,1,-3) + (3,6,11)
= (-2-1+3, -7+1+6, -8-3+11)
= (0, 0, 0)

Oleh karena itu, semua skalar yang memenuhi adalah ketika c1 = -c3 dan c2 = -c3, di mana c3 adalah skalar sembarang (misalnya, c3 = k, maka c1 = -k, c2 = -k).

Singkatnya: Solusi adalah c1 = -k, c2 = -k, dan c3 = k, di mana k adalah skalar sembarang.