Jika (6 sin theta cos theta)/2 sin ^2 theta=1/2 dan

6

Pembahasan

Kita diberikan persamaan trigonometri:
(6 sin θ cos θ) / (2 sin² θ) = 1/2

Kita dapat menyederhanakan persamaan ini. Perhatikan bahwa sin θ ada di pembilang dan penyebut. Kita dapat membatalkan satu faktor sin θ, asalkan sin θ ≠ 0.

(6 cos θ) / (2 sin θ) = 1/2

Kita tahu bahwa cos θ / sin θ = cot θ. Jadi, persamaan menjadi:

3 cot θ = 1/2

Untuk menemukan tan θ, kita ingat bahwa tan θ = 1 / cot θ.

 cot θ = (1/2) / 3
 cot θ = 1/6

Jadi, tan θ = 1 / (1/6)
tan θ = 6

Namun, kita perlu memeriksa kembali soalnya. Mungkin ada kesalahan ketik pada soal atau pada pemahaman saya. Jika persamaan yang dimaksud adalah:
(6 sin θ cos θ) / (2 sin θ) = 1/2

Maka, penyederhanaannya adalah:
3 cos θ = 1/2
cos θ = 1/6

Jika persamaan yang dimaksud adalah:
(6 sin θ cos θ) / (2 cos² θ) = 1/2

Maka, penyederhanaannya adalah:
3 tan θ = 1/2
tan θ = 1/6

Mari kita asumsikan soalnya adalah seperti yang tertulis: (6 sin θ cos θ)/2 sin ^2 θ=1/2

(6 sin θ cos θ) / (2 sin² θ) = 1/2
Kita bisa membatalkan satu sin θ di pembilang dan penyebut (dengan asumsi sin θ ≠ 0):
(6 cos θ) / (2 sin θ) = 1/2
3 (cos θ / sin θ) = 1/2
3 cot θ = 1/2
cot θ = 1/6

karena tan θ = 1 / cot θ, maka:
tan θ = 1 / (1/6)
tan θ = 6

Namun, jika kita melihat pilihan jawaban yang umum dalam soal trigonometri, nilai tan θ = 6 mungkin tidak umum, dan biasanya melibatkan sudut-sudut istimewa. Mari kita coba interpretasi lain dari soal.

Jika soalnya adalah:
(6 sin θ cos θ) / (2 sin θ) = 1/2
Maka: 3 cos θ = 1/2, cos θ = 1/6. Dari sini kita bisa mencari sin θ dan tan θ.
Jika sin² θ + cos² θ = 1, maka sin² θ = 1 - (1/6)² = 1 - 1/36 = 35/36. Jadi sin θ = √(35)/6.
Tan θ = sin θ / cos θ = (√(35)/6) / (1/6) = √35.

Jika soalnya adalah:
(6 sin θ cos θ) / (2 cos² θ) = 1/2
Maka: 3 (sin θ / cos θ) = 1/2, 3 tan θ = 1/2, tan θ = 1/6.

Mari kita kembali ke soal asli: (6 sin θ cos θ)/2 sin ^2 θ=1/2

Kita bisa menulis 2 sin² θ sebagai 2 sin θ sin θ.
(6 sin θ cos θ) / (2 sin θ sin θ) = 1/2

Jika sin θ ≠ 0, kita bisa membatalkan sin θ:
(6 cos θ) / (2 sin θ) = 1/2
3 (cos θ / sin θ) = 1/2
3 cot θ = 1/2
cot θ = 1/6

Karena tan θ = 1 / cot θ,
maka tan θ = 1 / (1/6) = 6.

Namun, jika kita perhatikan kemungkinan kesalahan pengetikan dan bahwa hasil yang umum adalah sudut istimewa, mari kita coba modifikasi soalnya sedikit untuk melihat apakah ada hasil yang lebih umum.

Jika soalnya adalah (6 sin θ cos θ) / (2 sin θ) = 1/2, maka 3 cos θ = 1/2, cos θ = 1/6. Ini juga bukan sudut istimewa.

Jika soalnya adalah (6 sin θ cos θ) / (2 cos θ) = 1/2, maka 3 sin θ = 1/2, sin θ = 1/6. Ini juga bukan sudut istimewa.

Mari kita coba jika soalnya melibatkan tan θ secara langsung.
Misalnya, jika (6 sin θ cos θ) / cos² θ = 1/2, maka 6 tan θ = 1/2, tan θ = 1/12.

Kembali ke soal asli: (6 sin θ cos θ)/2 sin ^2 θ=1/2

Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan sin² θ:
(6 (sin θ cos θ) / sin² θ) / (2 sin² θ / sin² θ) = 1/2
(6 (cos θ / sin θ)) / 2 = 1/2
(6 cot θ) / 2 = 1/2
3 cot θ = 1/2
cot θ = 1/6

tan θ = 1 / cot θ = 6.

Sekarang, mari kita pertimbangkan kondisi 0 < θ < 180 derajat. Dalam rentang ini, sin θ selalu positif.
Jika tan θ = 6, maka θ berada di kuadran pertama (karena tan positif).

Mari kita coba menyederhanakan persamaan dengan cara lain:
(6 sin θ cos θ) / (2 sin² θ) = 1/2

Kita tahu identitas trigonometri: sin(2θ) = 2 sin θ cos θ.
Jadi, pembilangnya adalah 3 sin(2θ).

Persamaan menjadi:
3 sin(2θ) / (2 sin² θ) = 1/2

Ini tidak terlihat lebih sederhana.

Mari kita gunakan kembali:
3 cot θ = 1/2
cot θ = 1/6

Kita tahu tan θ = 1/cot θ, jadi tan θ = 6.

Mari kita periksa apakah ada kesalahan dalam pemahaman atau pengetikan soal. Jika hasil yang diharapkan adalah salah satu dari nilai trigonometri sudut istimewa (seperti 0, 1/√3, 1, √3), maka soalnya mungkin berbeda.

Misalnya, jika soalnya adalah:
(2 sin θ cos θ) / (sin² θ) = 1/2
Maka, 2 cot θ = 1/2, cot θ = 1/4, tan θ = 4.

Jika soalnya adalah:
(6 sin θ cos θ) / (2 cos² θ) = 1/2
Maka, 6 tan θ = 1/2, tan θ = 1/12.

Jika soalnya adalah:
(sin θ cos θ) / (sin² θ) = 1
Maka, cot θ = 1, tan θ = 1. Dalam kasus ini, θ = 45°.

Jika soalnya adalah:
(sin θ cos θ) / (cos² θ) = √3
Maka, tan θ = √3. Dalam kasus ini, θ = 60°.

Dengan soal yang diberikan persis seperti itu: (6 sin θ cos θ)/2 sin ^2 θ=1/2

Langkah-langkahnya:
1. Bagi pembilang dan penyebut dengan 2 sin θ (asumsi sin θ ≠ 0):
   (3 cos θ) / (sin θ) = 1/2
2. Gunakan identitas cot θ = cos θ / sin θ:
   3 cot θ = 1/2
3. Isolasi cot θ:
   cot θ = 1/6
4. Gunakan identitas tan θ = 1 / cot θ:
   tan θ = 1 / (1/6)
   tan θ = 6

Kondisi 0 < θ < 180°. Dalam rentang ini, tan θ bisa positif (kuadran I) atau negatif (kuadran II).
Karena tan θ = 6 (positif), maka θ berada di kuadran I.

Jika jawaban yang dicari adalah nilai numerik tan θ, maka jawabannya adalah 6. Namun, jika soal ini berasal dari konteks di mana jawabannya diharapkan merupakan sudut istimewa, maka soalnya mungkin salah ketik.

Mari kita anggap bahwa soal ini benar dan jawabannya adalah tan θ = 6.

Verifikasi:
Jika tan θ = 6, maka kita bisa membentuk segitiga siku-siku dengan sisi depan = 6 dan sisi samping = 1. Sisi miringnya adalah √(6² + 1²) = √37.
Maka sin θ = 6/√37 dan cos θ = 1/√37.

Substitusikan ke persamaan awal:
(6 * (6/√37) * (1/√37)) / (2 * (6/√37)²) = 1/2
(6 * 6/37) / (2 * 36/37) = 1/2
(36/37) / (72/37) = 1/2
36/72 = 1/2
1/2 = 1/2

Jadi, perhitungan tan θ = 6 adalah benar berdasarkan soal yang diberikan.