Jika A=(1/2 akar(2) -1/2 akar(2) 1/2 akar(2) 1/2 akar(2))

A^9 = A

Pembahasan

Untuk menghitung A^9, kita perlu mengetahui sifat matriks A. Matriks A yang diberikan adalah:

A = [[1/2√2, -1/2√2],
     [1/2√2,  1/2√2]]

Perhatikan bahwa entri matriks ini terkait dengan nilai cosinus dan sinus. 
Misalkan cos(θ) = 1/2√2 dan sin(θ) = 1/2√2. Ini berarti θ = 45° atau π/4 radian.
Dengan demikian, matriks A dapat ditulis sebagai:

A = [[cos(45°), -sin(45°)],
     [sin(45°),  cos(45°)]]

Ini adalah matriks rotasi sebesar 45° berlawanan arah jarum jam.

Menurut rumus De Moivre untuk matriks rotasi, jika R(θ) adalah matriks rotasi sebesar θ, maka:
[R(θ)]^n = R(nθ)

Dalam kasus ini, n = 9 dan θ = 45°. Maka:

A^9 = R(9 * 45°) = R(405°)

Karena rotasi bersifat periodik setiap 360°, maka R(405°) = R(405° - 360°) = R(45°).
Jadi, A^9 = A.

Atau, kita bisa menghitung A^2:

A^2 = [[1/2√2, -1/2√2],
       [1/2√2,  1/2√2]] * [[1/2√2, -1/2√2],
                               [1/2√2,  1/2√2]]

A^2 = [[(1/4 * 2) + (-1/4 * 2), (-1/4 * 2) + (-1/4 * 2)],
       [(1/4 * 2) + (1/4 * 2),  (-1/4 * 2) + (1/4 * 2)]]

A^2 = [[1/2 - 1/2, -1/2 - 1/2],
       [1/2 + 1/2,  -1/2 + 1/2]]

A^2 = [[0, -1],
       [1,  0]]

Ini adalah matriks rotasi sebesar 90°.

A^4 = (A^2)^2 = [[0, -1],
                 [1,  0]] * [[0, -1],
                               [1,  0]]

A^4 = [[(0*0)+(-1*1), (0*-1)+(-1*0)],
       [(1*0)+(0*1),  (1*-1)+(0*0)]]

A^4 = [[-1, 0],
       [0, -1]]

Ini adalah matriks -I.

A^8 = (A^4)^2 = (-I)^2 = I (matriks identitas)

Maka, A^9 = A^8 * A = I * A = A.

Jadi, A^9 = A = [[1/2√2, -1/2√2], [1/2√2, 1/2√2]].