Jika a=100 dan S 7=160 , maka berapa: a. b ? b. S 10 c. n

a. $b = -\frac{180}{7}$, b. $S_{10} = -\frac{1100}{7}$, c. Tidak ada nilai $n$ real.

Pembahasan

Diketahui suku pertama barisan aritmatika $a = 100$ dan jumlah 7 suku pertama $S_7 = 160$. Kita perlu mencari nilai $b$ (beda), $S_{10}$ (jumlah 10 suku pertama), serta $n$ dan $S_n$ jika $S_n = 250$.

a. Mencari beda (b):
Rumus jumlah $n$ suku pertama barisan aritmatika adalah $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$.
Untuk $n=7$, kita punya $S_7 = \frac{7}{2}(2a + (7-1)b) = \frac{7}{2}(2a + 6b)$.
Substitusikan nilai $a=100$ dan $S_7=160$:
$160 = \frac{7}{2}(2(100) + 6b)$
$160 = \frac{7}{2}(200 + 6b)$
$320 = 7(200 + 6b)$
$320 = 1400 + 42b$
$42b = 320 - 1400$
$42b = -1080$
$b = \frac{-1080}{42} = \frac{-180}{7}$.
Jadi, beda barisan aritmatika tersebut adalah $b = -\frac{180}{7}$.

b. Mencari $S_{10}$:
Rumus $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + (10-1)b) = 5(2a + 9b)$.
Substitusikan nilai $a=100$ dan $b=-\frac{180}{7}$:
$S_{10} = 5(2(100) + 9(-\frac{180}{7}))$
$S_{10} = 5(200 - \frac{1620}{7})$
$S_{10} = 5(\frac{1400 - 1620}{7})$
$S_{10} = 5(-\frac{220}{7})$
$S_{10} = -\frac{1100}{7}$.
Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah $S_{10} = -\frac{1100}{7}$.

c. Mencari $n$ dan $S_n$ jika $S_n = 250$:
Kita gunakan rumus $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$.
$250 = \frac{n}{2}(2(100) + (n-1)(-\frac{180}{7}))$
$500 = n(200 - \frac{180}{7}(n-1))$
$500 = n(\frac{1400 - 180(n-1)}{7})$
$3500 = n(1400 - 180n + 180)$
$3500 = n(1580 - 180n)$
$3500 = 1580n - 180n^2$
$180n^2 - 1580n + 3500 = 0$
Bagi dengan 20:
$9n^2 - 79n + 175 = 0$.
Untuk mencari $n$, kita gunakan rumus kuadrat $n = \frac{-b 	ext{ ± } \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
$n = \frac{79 	ext{ ± } \sqrt{(-79)^2 - 4(9)(175)}}{2(9)}$
$n = \frac{79 	ext{ ± } \sqrt{6241 - 6300}}{18}$
$n = \frac{79 	ext{ ± } \sqrt{-59}}{18}$.
Karena diskriminan negatif, tidak ada nilai $n$ real yang memenuhi $S_n=250$ untuk barisan aritmatika ini.