Jika A=log 12+log 27-log 16, maka (4 1/2)log A= ...

Jika basis logaritma adalah 9/2, maka (4 1/2)log A = 9.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi A terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat logaritma.

A = log 12 + log 27 - log 16

Menggunakan sifat logaritma log a + log b = log (a*b):
A = log (12 * 27) - log 16
A = log (324) - log 16

Menggunakan sifat logaritma log a - log b = log (a/b):
A = log (324 / 16)
A = log (81 / 4)

Sekarang kita perlu menghitung (4 1/2)log A.
Pertama, ubah 4 1/2 menjadi bentuk pecahan biasa: 4 1/2 = 9/2.

Jadi, kita perlu menghitung (9/2) log A.
(9/2) log A = (9/2) log (81/4)

Kita bisa menggunakan sifat logaritma (m) log a = log (a^m):
(9/2) log (81/4) = log ((81/4)^(9/2))

Sekarang kita hitung (81/4)^(9/2):
(81/4)^(9/2) = ((81/4)^(1/2))^9

Hitung akar kuadrat dari 81/4:
(81/4)^(1/2) = sqrt(81/4) = sqrt(81) / sqrt(4) = 9 / 2

Sekarang pangkatkan hasilnya dengan 9:
(9/2)^9

Jadi, (4 1/2)log A = log ((9/2)^9).

Namun, pertanyaan meminta nilai dari (4 1/2)log A, bukan hanya ekspresi logaritmiknya. Jika kita mengasumsikan logaritma yang digunakan adalah logaritma basis 10 atau basis natural, kita perlu menghitung nilai numeriknya. Tapi, seringkali dalam soal seperti ini, jawabannya dinyatakan dalam bentuk logaritma jika tidak ada basis yang ditentukan dan tidak ada nilai numerik yang dapat disederhanakan lebih lanjut.

Jika kita meninjau pilihan jawaban yang mungkin (meskipun tidak diberikan), seringkali jawabannya adalah bentuk yang lebih sederhana. Mari kita coba menyederhanakan A lebih lanjut jika memungkinkan, atau memeriksa apakah ada sifat logaritma lain yang relevan.

Kembali ke A = log (81/4).
Kita tahu 81 = 3^4 dan 4 = 2^2.
A = log (3^4 / 2^2)
A = log ( (3^2 / 2)^2 )
A = log ( (9/2)^2 )

Sekarang kita hitung (4 1/2)log A = (9/2)log A.
(9/2) log A = (9/2) log ((9/2)^2)

Menggunakan sifat logaritma log (a^m) = m log a:
(9/2) * 2 * log (9/2)
= 9 * log (9/2)

Ini masih belum memberikan nilai numerik tunggal tanpa mengetahui basis logaritma.

Mari kita periksa kembali soalnya, mungkin ada cara lain atau interpretasi.

Jika kita lihat bentuk A = log (81/4) dan kita ingin menghitung (9/2)log A.

Perhatikan bahwa 81 = 3^4 dan 4 = 2^2.
A = log (3^4 / 2^2)

Dan (9/2) = 4.5.

Jika soalnya mengarah pada penyederhanaan aljabar dari ekspresi logaritma itu sendiri, maka jawabannya adalah 9 log (9/2).

Namun, jika kita diminta untuk menemukan nilai numerik, dan jika basis logaritma adalah 3, misalnya:
A = log_3 (81/4)
A = log_3 81 - log_3 4
A = 4 - log_3 4

(9/2) log_3 A = (9/2) (4 - log_3 4)
Ini juga tidak tampak menyederhanakan dengan baik.

Mari kita coba basis 9/2:
Jika basis log adalah 9/2, maka:
A = log_{9/2} (81/4)
A = log_{9/2} ((9/2)^2)
A = 2

Maka (4 1/2)log A = (9/2) * 2 = 9.

Atau jika basis log adalah 3:
A = log_3 (81/4)
(9/2) log_3 A = (9/2) log_3 (3^4 / 2^2)
= (9/2) [log_3 (3^4) - log_3 (2^2)]
= (9/2) [4 - 2 log_3 2]
= 18 - 9 log_3 2

Ini juga tidak memberikan jawaban yang jelas tanpa basis logaritma.

Kemungkinan besar, ada informasi yang hilang mengenai basis logaritma atau ada trik aljabar lain yang belum terlihat.

Namun, jika kita kembali ke A = log (81/4), dan kita perlu menghitung (9/2)log A. Jika ada pilihan jawaban yang merupakan bilangan bulat, maka kemungkinan basisnya adalah 9/2 atau sesuatu yang menyebabkan penyederhanaan.

Mari kita asumsikan logaritma adalah logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10 (log). Dalam kedua kasus, hasil akhirnya akan menjadi konstanta dikalikan logaritma dari (9/2) atau bentuk lain.

Kemungkinan lain adalah soal ini meminta penyederhanaan ekspresi.
Kita punya A = log(81/4) = log((9/2)^2) = 2 log(9/2).
Maka (4 1/2)log A = (9/2) * (2 log(9/2)) = 9 log(9/2).

Jika kita harus memberikan jawaban numerik dan tanpa basis yang jelas, ini adalah soal yang ambigu.

Namun, jika kita melihat ulang soal dan formatnya, seringkali soal seperti ini dirancang agar ada penyederhanaan yang mengejutkan. Mari kita coba manipulasi bentuknya:
(4 1/2)log A = (9/2) log A
A = log 12 + log 27 - log 16
A = log ( (12 * 27) / 16 )
A = log ( (3 * 4 * 27) / (4 * 4) )
A = log ( (3 * 27) / 4 )
A = log ( 81 / 4 )
A = log ( (9/2)^2 )

Maka (9/2) log A = (9/2) log ( (9/2)^2 )
Menggunakan sifat log (x^n) = n log x:
(9/2) * 2 * log (9/2)
= 9 log (9/2)

Jika kita mengasumsikan basis logaritma adalah 10 atau e, maka hasil ini tidak dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi bilangan bulat tanpa kalkulator.

Namun, jika kita perhatikan bahwa (9/2) adalah basis yang muncul, ada kemungkinan logaritma tersebut memiliki basis (9/2).
Jika basis logaritma adalah 9/2:
A = log_{9/2} (81/4)
A = log_{9/2} ((9/2)^2)
A = 2
Maka (4 1/2)log A = (9/2) * 2 = 9.

Tanpa informasi basis logaritma, jawaban ini bersifat spekulatif. Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda dan salah satu pilihannya adalah 9, maka ini adalah kemungkinan besar jawabannya.

Jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan manipulasi aljabar logaritma tanpa asumsi basis, maka jawabannya adalah 9 log(9/2). Namun, biasanya soal seperti ini mengarah pada jawaban numerik yang lebih sederhana.