Jika akar-akar persamaan kuadrat: 3x^2 + 5x + 1 = 0 adalah

19

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Diketahui persamaan kuadrat $3x^2 + 5x + 1 = 0$ memiliki akar-akar $a$ dan $b$. Menurut Vieta, jumlah akar-akar ($a+b$) adalah $-5/3$ dan hasil kali akar-akar ($ab$) adalah $1/3$. Kita ingin mencari nilai dari $1/a^2 + 1/b^2$. Pertama, kita samakan penyebutnya menjadi $(b^2+a^2)/(a^2b^2)$. Kemudian, kita bisa menuliskan $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$. Substitusikan nilai-nilai dari Vieta: $a+b = -5/3$ dan $ab = 1/3$. Maka, $a^2+b^2 = (-5/3)^2 - 2(1/3) = 25/9 - 2/3 = 25/9 - 6/9 = 19/9$. Selanjutnya, $a^2b^2 = (ab)^2 = (1/3)^2 = 1/9$. Jadi, $1/a^2 + 1/b^2 = (a^2+b^2)/(a^2b^2) = (19/9) / (1/9) = 19$.