Jika alpha, beta, gamma adalah akar-akar persamaan suku

Persamaan kubik dengan akar alpha, beta, gamma adalah (x-alpha)(x-beta)(x-gamma)=0, yang setelah diekspansi menjadi x^3 - (alpha + beta + gamma)x^2 + (alpha beta + alpha gamma + beta gamma)x - alpha beta gamma = 0.

Pembahasan

Akar-akar persamaan suku banyak berderajat 3, yaitu alpha, beta, dan gamma, dapat membentuk persamaan kubik. Persamaan kubik dengan akar-akar alpha, beta, dan gamma dapat dituliskan sebagai berikut:

(x - alpha)(x - beta)(x - gamma) = 0

Mari kita ekspansi persamaan ini:

Pertama, kalikan dua faktor pertama:
(x - alpha)(x - beta) = x^2 - beta x - alpha x + alpha beta
= x^2 - (alpha + beta)x + alpha beta

Selanjutnya, kalikan hasil ini dengan faktor ketiga (x - gamma):
(x^2 - (alpha + beta)x + alpha beta)(x - gamma) = 0

x(x^2 - (alpha + beta)x + alpha beta) - gamma(x^2 - (alpha + beta)x + alpha beta) = 0

x^3 - (alpha + beta)x^2 + alpha beta x - gamma x^2 + gamma(alpha + beta)x - alpha beta gamma = 0

Kelompokkan suku-suku berdasarkan pangkat x:
x^3 + (- (alpha + beta) - gamma)x^2 + (alpha beta + gamma(alpha + beta))x - alpha beta gamma = 0

Sederhanakan koefisien:
x^3 - (alpha + beta + gamma)x^2 + (alpha beta + alpha gamma + beta gamma)x - alpha beta gamma = 0

Dengan demikian, terbukti bahwa jika alpha, beta, gamma adalah akar-akar persamaan suku banyak berderajat 3, maka persamaan tersebut adalah x^3 - (alpha + beta + gamma)x^2 + (alpha beta + alpha gamma + beta gamma)x - alpha beta gamma = 0.