Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. P, Q dan R

tg alpha = sqrt(6)/2.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang dan trigonometri.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'. Maka koordinat titik-titik sudut dapat ditentukan sebagai berikut (dengan asumsi titik A berada di (0,0,0)):
A = (0,0,0)
B = (a,0,0)
C = (a,a,0)
D = (0,a,0)
E = (0,0,a)
F = (a,0,a)
G = (a,a,a)
H = (0,a,a)

P adalah titik tengah BF, sehingga P = ((a+a)/2, (0+0)/2, (0+a)/2) = (a, 0, a/2).
Q adalah titik tengah CD, sehingga Q = ((a+0)/2, (a+a)/2, (0+0)/2) = (a/2, a, 0).
R adalah titik tengah AD, sehingga R = ((0+0)/2, (0+a)/2, (0+0)/2) = (0, a/2, 0).

Sekarang kita perlu mencari vektor EP dan QR.
Vektor EP = P - E = (a, 0, a/2) - (0, 0, a) = (a, 0, -a/2).
Vektor QR = R - Q = (0, a/2, 0) - (a/2, a, 0) = (-a/2, -a/2, 0).

Selanjutnya, kita perlu mencari sudut alpha antara EP dan QR. Kita dapat menggunakan produk dot (perkalian titik):
EP . QR = |EP| |QR| cos(alpha)

Menghitung produk dot EP . QR:
EP . QR = (a)(-a/2) + (0)(-a/2) + (-a/2)(0) = -a^2/2

Menghitung panjang vektor |EP|:
|EP| = sqrt(a^2 + 0^2 + (-a/2)^2) = sqrt(a^2 + a^2/4) = sqrt(5a^2/4) = (a/2)sqrt(5)

Menghitung panjang vektor |QR|:
|QR| = sqrt((-a/2)^2 + (-a/2)^2 + 0^2) = sqrt(a^2/4 + a^2/4) = sqrt(2a^2/4) = sqrt(a^2/2) = a/sqrt(2)

Sekarang kita masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus produk dot:
-a^2/2 = [(a/2)sqrt(5)] * [a/sqrt(2)] * cos(alpha)
-a^2/2 = (a^2 * sqrt(5)) / (2 * sqrt(2)) * cos(alpha)

Untuk mencari cos(alpha):
cos(alpha) = (-a^2/2) / [(a^2 * sqrt(5)) / (2 * sqrt(2))]
cos(alpha) = (-a^2/2) * (2 * sqrt(2)) / (a^2 * sqrt(5))
cos(alpha) = -sqrt(2) / sqrt(5)

Kita perlu mencari tg(alpha). Kita tahu bahwa sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1.
sin^2(alpha) = 1 - cos^2(alpha)
sin^2(alpha) = 1 - (-sqrt(2) / sqrt(5))^2
sin^2(alpha) = 1 - (2/5)
sin^2(alpha) = 3/5
sin(alpha) = sqrt(3/5) (kita ambil nilai positif karena biasanya sudut diukur antara 0 dan pi)

Sekarang kita bisa mencari tg(alpha):
tg(alpha) = sin(alpha) / cos(alpha)
tg(alpha) = sqrt(3/5) / (-sqrt(2) / sqrt(5))
tg(alpha) = sqrt(3/5) * (sqrt(5) / -sqrt(2))
tg(alpha) = sqrt(3) / -sqrt(2)
tg(alpha) = -sqrt(6) / 2

Namun, sudut antara dua garis biasanya diambil yang lancure, sehingga nilainya positif. Jika kita menganggap vektor QR terbalik (RQ), maka cos(alpha) akan positif. Mari kita hitung ulang dengan cos(alpha) = sqrt(2)/sqrt(5).

Jika cos(alpha) = sqrt(2)/sqrt(5), maka sin^2(alpha) = 1 - (2/5) = 3/5, sin(alpha) = sqrt(3/5).
tg(alpha) = sqrt(3/5) / (sqrt(2)/sqrt(5)) = sqrt(3)/sqrt(2) = sqrt(6)/2.

Perlu diperhatikan bahwa dalam soal geometri, sudut antara dua garis adalah sudut lancip, jadi kita ambil nilai positif dari cosinus.
Mari kita periksa kembali penentuan vektor dan titik.

Koordinat Titik:
A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0), E=(0,0,a), F=(a,0,a), G=(a,a,a), H=(0,a,a).
P titik tengah BF = (a, 0, a/2).
Q titik tengah CD = (a/2, a, 0).
R titik tengah AD = (0, a/2, 0).

Vektor EP = P - E = (a, 0, a/2) - (0,0,a) = (a, 0, -a/2).
Vektor QR = R - Q = (0, a/2, 0) - (a/2, a, 0) = (-a/2, -a/2, 0).

Produk titik EP.QR = a(-a/2) + 0(-a/2) + (-a/2)(0) = -a^2/2.
|EP| = sqrt(a^2 + 0 + a^2/4) = sqrt(5a^2/4) = a sqrt(5) / 2.
|QR| = sqrt(a^2/4 + a^2/4 + 0) = sqrt(2a^2/4) = a sqrt(2) / 2.

cos(alpha) = (EP.QR) / (|EP||QR|) = (-a^2/2) / [ (a sqrt(5)/2) * (a sqrt(2)/2) ]
cos(alpha) = (-a^2/2) / [ a^2 sqrt(10) / 4 ]
cos(alpha) = (-a^2/2) * (4 / (a^2 sqrt(10)))
cos(alpha) = -2 / sqrt(10) = -sqrt(4)/sqrt(10) = -sqrt(4/10) = -sqrt(2/5).

Karena alpha adalah sudut antara dua garis, maka cos(alpha) harus positif (sudut lancip).
Jadi, kita ambil nilai absolut dari cos(alpha), yaitu sqrt(2/5).
Jika cos(alpha) = sqrt(2/5), maka:
sin^2(alpha) = 1 - cos^2(alpha) = 1 - (2/5) = 3/5.
sin(alpha) = sqrt(3/5).

tg(alpha) = sin(alpha) / cos(alpha) = sqrt(3/5) / sqrt(2/5) = sqrt(3/2) = sqrt(6)/2.

Jadi, tg alpha = sqrt(6)/2.