Jika an=(-1) (n - 1)/(2n^2 + 2), maka barisan (an)

Limit barisan (an) adalah 0.

Pembahasan

Untuk menentukan limit dari barisan (an) = (-1)^(n-1) * (n-1) / (2n^2 + 2), kita perlu menganalisis perilaku suku-suku barisan ketika n mendekati tak hingga.

Suku barisan dapat ditulis sebagai:
an = [(-1)^(n-1) * (n-1)] / (2n^2 + 2)

Mari kita perhatikan bagian (n-1) / (2n^2 + 2). Ketika n sangat besar:
(n-1) / (2n^2 + 2) ≈ n / (2n^2) = 1 / (2n)

Ketika n mendekati tak hingga, 1 / (2n) akan mendekati 0.

Sekarang, mari kita pertimbangkan faktor (-1)^(n-1). Faktor ini akan bergantian antara +1 dan -1 seiring dengan bertambahnya nilai n.

Jadi, suku barisan an akan bergantian antara nilai positif yang mendekati 0 dan nilai negatif yang mendekati 0.

Sebagai contoh:
Untuk n = 1, a1 = (-1)^0 * (0) / (2) = 0
Untuk n = 2, a2 = (-1)^1 * (1) / (6) = -1/6
Untuk n = 3, a3 = (-1)^2 * (2) / (10) = 2/10 = 1/5
Untuk n = 4, a4 = (-1)^3 * (3) / (18) = -3/18 = -1/6

Karena suku-suku barisan mendekati 0 baik dari sisi positif maupun negatif, limit dari barisan (an) adalah 0.

Secara formal, kita bisa menggunakan Teorema Apit (Squeeze Theorem). Kita tahu bahwa:
-1 <= (-1)^(n-1) <= 1

Kalikan dengan (n-1)/(2n^2+2) (yang positif untuk n>1):
-(n-1)/(2n^2+2) <= (-1)^(n-1) * (n-1)/(2n^2+2) <= (n-1)/(2n^2+2)

Kita sudah mengetahui bahwa lim (n->inf) (n-1)/(2n^2+2) = 0.
Dan lim (n->inf) -(n-1)/(2n^2+2) = 0.

Berdasarkan Teorema Apit, karena an diapit oleh dua barisan yang limitnya adalah 0, maka limit dari an juga 0.