Jika C(t)=1/t integral 0 t (f(s)+g(s)) ds dan limit a -> 0

$C(t_0) = f(t_0) + g(t_0)$.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan kalkulus, khususnya teorema dasar kalkulus dan konsep turunan.

Diketahui:
- $C(t) = \frac{1}{t} \int_0^t (f(s) + g(s)) ds$
- $\lim_{a \to 0} \frac{C(t_0 + a) - C(t_0)}{a} = 0$

Bagian kedua dari informasi, $\lim_{a \to 0} \frac{C(t_0 + a) - C(t_0)}{a}$, adalah definisi dari turunan $C'(t)$ pada titik $t_0$. Jadi, informasi tersebut menyatakan bahwa $C'(t_0) = 0$.

Sekarang kita perlu mencari turunan dari $C(t)$.
$C(t) = \frac{1}{t} F(t)$, di mana $F(t) = \int_0^t (f(s) + g(s)) ds$.

Menggunakan aturan hasil bagi (quotient rule) untuk turunan:
$C'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{F(t)}{t} \right) = \frac{F'(t) \cdot t - F(t) \cdot 1}{t^2}$

Menurut Teorema Dasar Kalkulus, jika $F(t) = \int_0^t h(s) ds$, maka $F'(t) = h(t)$. Dalam kasus ini, $h(s) = f(s) + g(s)$, sehingga $F'(t) = f(t) + g(t)$.

Substitusikan $F'(t)$ ke dalam rumus turunan $C'(t)$:
$C'(t) = \frac{(f(t) + g(t)) \cdot t - \int_0^t (f(s) + g(s)) ds}{t^2}$

Kita tahu bahwa $C'(t_0) = 0$. Jadi:
$0 = \frac{(f(t_0) + g(t_0)) \cdot t_0 - \int_0^{t_0} (f(s) + g(s)) ds}{t_0^2}$

Karena $t_0^2$ tidak mungkin nol (agar $C(t)$ terdefinisi pada $t_0$), maka pembilangnya harus nol:
$(f(t_0) + g(t_0)) \cdot t_0 - \int_0^{t_0} (f(s) + g(s)) ds = 0$

Ini berarti:
$\int_0^{t_0} (f(s) + g(s)) ds = t_0 (f(t_0) + g(t_0))$

Sekarang, kita kembali ke definisi $C(t_0)$:
$C(t_0) = \frac{1}{t_0} \int_0^{t_0} (f(s) + g(s)) ds$

Substitusikan hasil dari persamaan di atas:
$C(t_0) = \frac{1}{t_0} \left( t_0 (f(t_0) + g(t_0)) \right)$

$C(t_0) = f(t_0) + g(t_0)$

Jadi, jika $\lim_{a \to 0} \frac{C(t_0+a)-C(t_0)}{a}=0$, maka $C(t_0)$ sama dengan $f(t_0) + g(t_0)$.