Jika cos a=1/5 akar(5) dan 3pi/2<a<2pi, hitunglah a. sin 3a

$\cos a = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ($a$ di kuadran IV), $\sin 3a = \frac{2\sqrt{5}}{25}$, $\cos 3a = -\frac{11\sqrt{5}}{25}$

Pembahasan

Untuk menghitung nilai $a$, $\sin 3a$, dan $\cos 3a$ ketika $\cos a = \frac{1}{5}\sqrt{5}$ dan $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$, kita perlu menentukan kuadran sudut $a$ terlebih dahulu.

Karena $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$, maka sudut $a$ berada di Kuadran IV. Di kuadran ini, nilai $\cos a$ positif dan nilai $\sin a$ negatif.

Diketahui $\cos a = \frac{1}{5}\sqrt{5}$. Kita dapat mencari $\sin a$ menggunakan identitas trigonometri $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:
$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$
$\sin^2 a = 1 - (\frac{1}{5}\sqrt{5})^2$
$\sin^2 a = 1 - \frac{1}{25} \times 5$
$\sin^2 a = 1 - \frac{5}{25}$
$\sin^2 a = 1 - \frac{1}{5}$
$\sin^2 a = \frac{4}{5}$
$\sin a = \pm\sqrt{\frac{4}{5}} = \pm\frac{2}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Karena $a$ berada di Kuadran IV, $\sin a$ bernilai negatif, sehingga $\sin a = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Selanjutnya, kita hitung $\sin 3a$ dan $\cos 3a$ menggunakan rumus:
$\sin 3a = 3\sin a - 4\sin^3 a$
$\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a$

Menghitung $\sin 3a$:
$\sin 3a = 3(-\frac{2\sqrt{5}}{5}) - 4(-\frac{2\sqrt{5}}{5})^3$
$\sin 3a = -\frac{6\sqrt{5}}{5} - 4(-\frac{8 \times 5\sqrt{5}}{125})$
$\sin 3a = -\frac{6\sqrt{5}}{5} - 4(-\frac{40\sqrt{5}}{125})$
$\sin 3a = -\frac{6\sqrt{5}}{5} + \frac{160\sqrt{5}}{125}$
$\sin 3a = -\frac{6\sqrt{5}}{5} + \frac{32\sqrt{5}}{25}$
$\sin 3a = -\frac{30\sqrt{5}}{25} + \frac{32\sqrt{5}}{25}$
$\sin 3a = \frac{2\sqrt{5}}{25}$

Menghitung $\cos 3a$:
$\cos 3a = 4(\frac{1}{5}\sqrt{5})^3 - 3(\frac{1}{5}\sqrt{5})$
$\cos 3a = 4(\frac{1 \times 5\sqrt{5}}{125}) - \frac{3\sqrt{5}}{5}$
$\cos 3a = 4(\frac{5\sqrt{5}}{125}) - \frac{3\sqrt{5}}{5}$
$\cos 3a = \frac{20\sqrt{5}}{125} - \frac{3\sqrt{5}}{5}$
$\cos 3a = \frac{4\sqrt{5}}{25} - \frac{15\sqrt{5}}{25}$
$\cos 3a = -\frac{11\sqrt{5}}{25}$

Untuk menghitung nilai $a$ secara spesifik, kita bisa menggunakan fungsi $\arccos$ pada $\cos a = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
$a = \arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$
Nilai $a$ kira-kira adalah $63.435^\circ$ atau $1.107$ radian. Namun, karena rentang yang diberikan adalah $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$, maka kita perlu mencari sudut di kuadran IV yang memiliki nilai kosinus tersebut. Sudut referensinya adalah $63.435^\circ$. Maka, $a = 360^\circ - 63.435^\circ = 296.565^\circ$ atau $a = 2\pi - 1.107 = 5.176$ radian.

Jadi:
Nilai $a$ adalah $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$ di mana $\cos a = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
$\sin 3a = \frac{2\sqrt{5}}{25}$
$\cos 3a = -\frac{11\sqrt{5}}{25}$