Sebuah bilangan ganjil 5 angka memuat tepat 4 angka ganjil

Terdapat 1920 bilangan berbeda dengan ciri tersebut.

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu memahami konsep bilangan ganjil, permutasi, dan kombinasi.

Bilangan yang dicari adalah bilangan ganjil 5 angka, yang berarti angka terakhirnya harus ganjil (1, 3, 5, 7, 9). 

Syarat lainnya adalah:
1. Memuat tepat 4 angka ganjil dan 1 angka genap.
2. Tidak ada angka yang berulang.
3. Tidak memuat angka 0.

Angka yang tersedia adalah: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Angka ganjil: 1, 3, 5, 7, 9 (ada 5 angka).
Angka genap: 2, 4, 6, 8 (ada 4 angka).

Kasus 1: Angka terakhir adalah ganjil.

*   Memilih angka ganjil untuk posisi terakhir (satuan):
    Ada 5 pilihan angka ganjil (1, 3, 5, 7, 9).

*   Memilih 3 angka ganjil lainnya dari 4 angka ganjil yang tersisa:
    Ini adalah kombinasi C(4, 3) = 4.

*   Memilih 1 angka genap dari 4 angka genap yang tersedia:
    Ada 4 pilihan angka genap (2, 4, 6, 8).

*   Mengatur 4 angka ganjil dan 1 angka genap pada 5 posisi:
    Setelah memilih 4 angka ganjil dan 1 angka genap, kita perlu mengatur posisi mereka. 
    Namun, kita harus memastikan angka terakhir adalah ganjil.

Mari kita pecah berdasarkan posisi angka:

Posisi Angka: 
_ _ _ _ _ (Satuan)

Karena angka terakhir harus ganjil:
*   Pilihan untuk angka satuan: 5 (1, 3, 5, 7, 9)

Sekarang kita memiliki 4 posisi tersisa yang harus diisi oleh 3 angka ganjil dan 1 angka genap, dengan syarat tidak ada angka berulang dan tidak boleh ada angka 0.

Kita perlu memilih 3 angka ganjil dari 5 angka ganjil yang tersedia, tetapi karena 1 angka ganjil sudah digunakan untuk posisi satuan, maka tersisa 4 angka ganjil. Jadi, kita memilih 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa: C(4, 3) = 4.

Kita perlu memilih 1 angka genap dari 4 angka genap yang tersedia: C(4, 1) = 4.

Jadi, kita memiliki 1 angka ganjil di posisi satuan, dan 3 angka ganjil serta 1 angka genap di 4 posisi sisanya.

Mari kita pertimbangkan pemilihan angka terlebih dahulu:
1.  Pilih 1 angka ganjil untuk posisi satuan: 5 cara.
2.  Pilih 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa: C(4, 3) = 4 cara.
3.  Pilih 1 angka genap dari 4 angka genap yang tersedia: C(4, 1) = 4 cara.

Total pilihan angka = 5 (satuan ganjil) * C(4,3) (3 ganjil lain) * C(4,1) (1 genap) = 5 * 4 * 4 = 80.

Sekarang, kita perlu mengatur 5 angka ini di 5 posisi. 

Kita punya 1 angka ganjil di posisi satuan. 
Sisa 4 posisi akan diisi oleh 3 angka ganjil dan 1 angka genap.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih langsung:

Total angka yang tersedia (tidak termasuk 0): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Angka Ganjil (G): {1, 3, 5, 7, 9} (5 pilihan)
Angka Genap (E): {2, 4, 6, 8} (4 pilihan)

Struktur bilangan: 5 angka, harus ganjil di akhir.
Komposisi: 4 Ganjil, 1 Genap.

Kasus 1: Angka terakhir adalah Ganjil.

1.  Pilih angka untuk posisi satuan (harus ganjil): 5 cara (pilih salah satu dari {1, 3, 5, 7, 9}).
2.  Sisa 4 posisi akan diisi oleh 3 angka ganjil dan 1 angka genap.
    *   Pilih 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa: C(4, 3) = 4 cara.
    *   Pilih 1 angka genap dari 4 angka genap yang tersedia: C(4, 1) = 4 cara.
    *   Total kombinasi angka yang terpilih (selain angka satuan) = 4 * 4 = 16.
    *   Jadi, kita punya 16 set angka yang terdiri dari 3 ganjil dan 1 genap untuk mengisi 4 posisi awal.

    Sekarang, kita punya 5 angka terpilih (1 ganjil di akhir, 3 ganjil + 1 genap di 4 posisi awal).

    *   Total angka ganjil yang digunakan adalah 4.
    *   Total angka genap yang digunakan adalah 1.

    Pertimbangkan 4 posisi awal yang akan diisi oleh 3 G dan 1 E:
    *   Posisi angka genap: Ada 4 pilihan posisi untuk angka genap (posisi 1, 2, 3, atau 4).
    *   Mengatur 3 angka ganjil yang tersisa di 3 posisi yang tersisa: 3! = 6 cara.

    Jadi, untuk setiap set 5 angka terpilih (1 ganjil di akhir, 3 ganjil dan 1 genap untuk 4 posisi awal), jumlah susunan adalah:
    *   Jumlah cara memilih angka:
        *   Pilih 1 angka ganjil untuk posisi satuan: 5 cara.
        *   Pilih 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa: C(4, 3) = 4 cara.
        *   Pilih 1 angka genap dari 4 angka genap yang tersedia: C(4, 1) = 4 cara.
        *   Total cara memilih set angka = 5 * 4 * 4 = 80.

    *   Untuk setiap set 5 angka yang dipilih (misalnya, jika angka satuan adalah 3, dan angka lainnya adalah 1, 5, 7, 2):
        Kita perlu menyusun angka-angka ini sedemikian rupa sehingga angka satuan adalah 3.
        Angka-angka yang tersisa adalah {1, 5, 7, 2}.
        Posisi yang tersedia untuk angka-angka ini adalah 4 posisi pertama.
        Dari 4 angka ini (3 G, 1 E), kita perlu menyusunnya di 4 posisi awal.
        Ada 4! cara untuk menyusun 4 angka yang berbeda. Namun, kita perlu mempertimbangkan struktur GGG E.

        Cara yang lebih mudah adalah memikirkan posisi angka genap.
        Ada 4 pilihan untuk angka satuan (ganjil).
        Ada 4 posisi tersisa untuk angka genap.
        Ada 4 pilihan angka genap untuk posisi tersebut.
        Ada 3 angka ganjil tersisa untuk mengisi 3 posisi awal yang tersisa.
        Ada P(4,3) cara untuk memilih dan menyusun 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa untuk 3 posisi awal.

Mari kita gunakan pendekatan berbasis permutasi:

Total angka yang tersedia (tidak termasuk 0): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Angka Ganjil (G): {1, 3, 5, 7, 9} (5)
Angka Genap (E): {2, 4, 6, 8} (4)

Kita membutuhkan bilangan ganjil 5 angka dengan 4 G dan 1 E, tidak berulang, tidak ada 0.

Posisi angka: _ _ _ _ _

Karena bilangan harus ganjil, angka terakhir harus ganjil.

1.  **Pilihan angka terakhir (satuan):**
    Ada 5 angka ganjil yang tersedia {1, 3, 5, 7, 9}. Jadi, ada 5 pilihan untuk posisi satuan.

2.  **Pilihan angka untuk 4 posisi pertama:**
    Kita perlu memilih 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa dan 1 angka genap dari 4 angka genap yang tersedia.

    *   **Pilihan angka genap:**
        Ada 4 angka genap {2, 4, 6, 8}. Kita perlu memilih 1 angka genap untuk salah satu dari 4 posisi pertama.
        Ada 4 pilihan untuk angka genap tersebut.
        Ada 4 pilihan posisi untuk angka genap tersebut.
        Jadi, ada 4 * 4 = 16 cara untuk menempatkan angka genap di salah satu dari 4 posisi pertama.

    *   **Pilihan angka ganjil:**
        Kita perlu memilih 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa. C(4, 3) = 4 cara untuk memilih angka ganjilnya.
        Setelah memilih 3 angka ganjil, kita perlu menempatkannya di 3 posisi tersisa.
        Ada 3! = 6 cara untuk menyusun 3 angka ganjil tersebut.
        Jadi, ada 4 * 6 = 24 cara untuk memilih dan menyusun 3 angka ganjil di 3 posisi yang tersisa.

    *   **Total cara mengisi 4 posisi pertama:**
        Kita perlu memastikan bahwa kita tidak menghitung duplikasi. Cara termudah adalah dengan mempertimbangkan tempat angka genap terlebih dahulu.

        *   Pilih angka genap: 4 cara.
        *   Pilih posisi untuk angka genap (di antara 4 posisi awal): 4 cara.
        *   Pilih 3 angka ganjil dari 4 yang tersisa: C(4, 3) = 4 cara.
        *   Susun 3 angka ganjil tersebut di 3 posisi yang tersisa: 3! = 6 cara.
        *   Total cara mengisi 4 posisi pertama = 4 (pilihan genap) * 4 (posisi genap) * C(4,3) (pilihan ganjil) * 3! (susunan ganjil)
            = 4 * 4 * 4 * 6 = 384.

    Atau, kita bisa berpikir:
    *   Pilih 3 angka ganjil dari 4 yang tersisa: C(4, 3) = 4.
    *   Pilih 1 angka genap dari 4 yang tersedia: C(4, 1) = 4.
    *   Total 4 angka yang terpilih (3G, 1E).
    *   Jumlah cara menyusun 4 angka ini di 4 posisi awal, dengan syarat salah satu adalah genap: P(4,4) = 4! = 24.
    *   Perhatikan bahwa ini sudah mencakup penempatan angka genap di salah satu dari 4 posisi.

    Jumlah cara memilih dan menempatkan 3G dan 1E di 4 posisi awal:
    *   Pilih 3 angka ganjil dari 4 yang tersisa: C(4, 3) = 4.
    *   Pilih 1 angka genap dari 4 yang tersedia: C(4, 1) = 4.
    *   Total kombinasi angka = 4 * 4 = 16.
    *   Untuk setiap kombinasi 4 angka (3G, 1E), ada 4! = 24 permutasi.
    *   Total cara menyusun 3G dan 1E di 4 posisi = 16 * 24 = 384.

    Sekarang, mari kita gabungkan:

    *   **Langkah 1: Pilih angka untuk posisi satuan (harus ganjil).**
        Ada 5 pilihan (1, 3, 5, 7, 9).

    *   **Langkah 2: Pilih dan susun angka untuk 4 posisi pertama (3 ganjil, 1 genap).**
        Angka ganjil yang tersisa untuk dipilih: 4.
        Angka genap yang tersedia: 4.

        Cara termudah adalah memilih posisi untuk angka genap terlebih dahulu.
        *   Ada 4 pilihan posisi untuk angka genap (posisi 1, 2, 3, atau 4).
        *   Ada 4 pilihan angka genap untuk posisi tersebut.
        *   Jadi, ada 4 * 4 = 16 cara untuk menempatkan angka genap.

        *   Sekarang, kita memiliki 3 posisi tersisa untuk diisi oleh 3 angka ganjil.
        *   Kita perlu memilih 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa. C(4, 3) = 4 cara untuk memilih angka.
        *   Susun 3 angka ganjil tersebut di 3 posisi yang tersisa: 3! = 6 cara.
        *   Jadi, ada 4 * 6 = 24 cara untuk memilih dan menyusun 3 angka ganjil.

        *   Jumlah cara mengisi 4 posisi pertama = (Cara menempatkan 1 genap) * (Cara mengisi 3 ganjil)
            = (4 posisi * 4 pilihan genap) * (C(4,3) pilihan ganjil * 3! susunan ganjil)
            = 16 * (4 * 6) = 16 * 24 = 384.

    *   **Total bilangan berbeda:**
        (Pilihan angka satuan) * (Cara mengisi 4 posisi pertama)
        = 5 * 384 = 1920.

Mari kita coba cara lain untuk memverifikasi:

Kita perlu menyusun 4 angka ganjil dan 1 angka genap, di mana angka terakhir adalah ganjil.

1.  **Memilih 4 angka ganjil:** C(5, 4) = 5 cara.
2.  **Memilih 1 angka genap:** C(4, 1) = 4 cara.
3.  **Total kombinasi 5 angka:** 5 * 4 = 20 kombinasi.

Sekarang, untuk setiap kombinasi 5 angka (misalnya, {1, 3, 5, 7, 2}), kita perlu menyusunnya menjadi bilangan 5 angka, di mana angka terakhir harus ganjil.

Misalkan kombinasi angka adalah {G1, G2, G3, G4, E1}.

*   Pilihan untuk angka satuan: Harus ganjil. Ada 4 pilihan (G1, G2, G3, G4).
*   Pilihan untuk 4 posisi pertama: Harus diisi oleh 3 angka ganjil yang tersisa dan 1 angka genap. Ada 4! = 24 cara untuk menyusunnya.

Jadi, untuk setiap kombinasi 5 angka (4G, 1E), ada 4 * 24 = 96 bilangan yang bisa dibentuk dengan angka terakhir ganjil.

Total bilangan = (Jumlah kombinasi 5 angka) * (Jumlah susunan dengan angka terakhir ganjil)
Total bilangan = 20 * 96 = 1920.

Kedua metode memberikan hasil yang sama, yaitu 1920.

**Rangkuman Perhitungan:**
1.  **Total angka yang tersedia:** {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
    Angka Ganjil (G): {1, 3, 5, 7, 9} (ada 5).
    Angka Genap (E): {2, 4, 6, 8} (ada 4).
2.  **Syarat bilangan:** 5 angka, ganjil, tepat 4G dan 1E, tidak berulang, tidak ada 0.
3.  **Angka terakhir harus ganjil.**

**Metode 1: Berbasis Posisi**
*   Posisi satuan (terakhir): Harus ganjil. Pilih 1 dari 5 angka ganjil = 5 cara.
*   Isi 4 posisi awal dengan 3 angka ganjil dan 1 angka genap:
    *   Pilih angka genap: Ada 4 pilihan (2, 4, 6, 8).
    *   Pilih posisi untuk angka genap di antara 4 posisi awal: Ada 4 pilihan posisi.
    *   Pilih 3 angka ganjil dari 4 angka ganjil yang tersisa: C(4, 3) = 4 cara.
    *   Susun 3 angka ganjil tersebut di 3 posisi yang tersisa: 3! = 6 cara.
    *   Jumlah cara mengisi 4 posisi awal = (4 posisi genap) * (4 pilihan genap) * (C(4,3) pilihan ganjil) * (3! susunan ganjil) = 4 * 4 * 4 * 6 = 384 cara.
*   Total bilangan = (Pilihan satuan) * (Cara mengisi 4 posisi awal) = 5 * 384 = 1920.

**Metode 2: Berbasis Kombinasi dan Permutasi**
*   Pilih 4 angka ganjil dari 5 yang tersedia: C(5, 4) = 5 cara.
*   Pilih 1 angka genap dari 4 yang tersedia: C(4, 1) = 4 cara.
*   Total kombinasi 5 angka (4G, 1E): 5 * 4 = 20 kombinasi.
*   Untuk setiap kombinasi 5 angka, susun menjadi bilangan 5 angka dengan angka terakhir ganjil:
    *   Pilih 1 dari 4 angka ganjil untuk posisi satuan: 4 cara.
    *   Susun sisa 4 angka (3G, 1E) di 4 posisi awal: 4! = 24 cara.
    *   Jumlah susunan per kombinasi = 4 * 24 = 96 cara.
*   Total bilangan = (Jumlah kombinasi) * (Jumlah susunan per kombinasi) = 20 * 96 = 1920.

Jadi, ada 1920 bilangan berbeda dengan ciri tersebut.