Jika diketahui sebuah persegipanjang PQRS dengan panjang

Keliling: (124 - 60√3)/13 cm, Luas: (64 - 36√3)/13 cm²

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung keliling dan luas persegi panjang PQRS dengan panjang dan lebar yang diberikan dalam bentuk akar.

Diketahui:
Panjang $p = \frac{2}{2+\sqrt{3}}$ cm
Lebar $l = \frac{2}{5+2\sqrt{3}}$ cm

Langkah 1: Rasionalkan penyebut untuk panjang dan lebar.

Untuk Panjang (p):
$p = \frac{2}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$
$p = \frac{2(2-\sqrt{3})}{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$p = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 3}$
$p = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{1}$
$p = 4 - 2\sqrt{3}$ cm

Untuk Lebar (l):
$l = \frac{2}{5+2\sqrt{3}} \times \frac{5-2\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}$
$l = \frac{2(5-2\sqrt{3})}{5^2 - (2\sqrt{3})^2}$
$l = \frac{10 - 4\sqrt{3}}{25 - (4 \times 3)}$
$l = \frac{10 - 4\sqrt{3}}{25 - 12}$
$l = \frac{10 - 4\sqrt{3}}{13}$ cm

Langkah 2: Hitung Keliling Persegi Panjang.
Rumus keliling persegi panjang adalah $K = 2(p+l)$.
$K = 2((4 - 2\sqrt{3}) + \frac{10 - 4\sqrt{3}}{13})$
Untuk menjumlahkan, samakan penyebutnya:
$K = 2(\frac{13(4 - 2\sqrt{3})}{13} + \frac{10 - 4\sqrt{3}}{13})$
$K = 2(\frac{52 - 26\sqrt{3} + 10 - 4\sqrt{3}}{13})$
$K = 2(\frac{62 - 30\sqrt{3}}{13})$
$K = \frac{124 - 60\sqrt{3}}{13}$ cm

Langkah 3: Hitung Luas Persegi Panjang.
Rumus luas persegi panjang adalah $L = p 	imes l$.
$L = (4 - 2\sqrt{3}) \times \frac{10 - 4\sqrt{3}}{13}$
$L = \frac{(4 - 2\sqrt{3})(10 - 4\sqrt{3})}{13}$
Kalikan numeratornya:
$(4 - 2\sqrt{3})(10 - 4\sqrt{3}) = 4(10) + 4(-4\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}(10) - 2\sqrt{3}(-4\sqrt{3})$
$= 40 - 16\sqrt{3} - 20\sqrt{3} + (8 \times 3)$
$= 40 - 36\sqrt{3} + 24$
$= 64 - 36\sqrt{3}$

Maka, Luas $L = \frac{64 - 36\sqrt{3}}{13}$ cm$^2$.

Jawaban:

a. Keliling persegipanjang tersebut adalah $\frac{124 - 60\sqrt{3}}{13}$ cm.
b. Luas persegipanjang tersebut adalah $\frac{64 - 36\sqrt{3}}{13}$ cm$^2$.