Jika f(x)=a cotan x+bx. f'(pi/4)=7, dan f'(pi/3)=5,

-2

Pembahasan

Kita diberikan fungsi \( f(x) = a \cot x + bx \). Kita juga diberikan nilai turunan pertama di titik tertentu: \( f'( \frac{\pi}{4} ) = 7 \) dan \( f'( \frac{\pi}{3} ) = 5 \). Pertama, kita cari turunan dari \( f(x) \). Turunan dari \( \cot x \) adalah \( -\csc^2 x \), dan turunan dari \( bx \) adalah \( b \). Jadi, \( f'(x) = -a \csc^2 x + b \). 
Sekarang, kita gunakan informasi yang diberikan:
1. \( f'( \frac{\pi}{4} ) = 7 \)
   \( -a \csc^2 (\frac{\pi}{4}) + b = 7 \)
   Kita tahu bahwa \( \csc (\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \), sehingga \( \csc^2 (\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^2 = 2 \).
   Jadi, \( -a(2) + b = 7 \) atau \( -2a + b = 7 \) (Persamaan 1).

2. \( f'( \frac{\pi}{3} ) = 5 \)
   \( -a \csc^2 (\frac{\pi}{3}) + b = 5 \)
   Kita tahu bahwa \( \sin (\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), sehingga \( \csc (\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \), dan \( \csc^2 (\frac{\pi}{3}) = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3} \).
   Jadi, \( -a(\frac{4}{3}) + b = 5 \) atau \( -\frac{4}{3}a + b = 5 \) (Persamaan 2).

Sekarang kita punya sistem dua persamaan linear:
(1) \( -2a + b = 7 \)
(2) \( -\frac{4}{3}a + b = 5 \)

Kita bisa mengurangi Persamaan 2 dari Persamaan 1 untuk mengeliminasi \( b \):
\( (-2a + b) - (-\frac{4}{3}a + b) = 7 - 5 \)
\( -2a + b + \frac{4}{3}a - b = 2 \)
\( -2a + \frac{4}{3}a = 2 \)
\( (-\frac{6}{3} + \frac{4}{3})a = 2 \)
\( -\frac{2}{3}a = 2 \)
\( a = 2 \times (-\frac{3}{2}) = -3 \).

Sekarang substitusikan nilai \( a = -3 \) ke Persamaan 1:
\( -2(-3) + b = 7 \)
\( 6 + b = 7 \)
\( b = 7 - 6 = 1 \).

Kita diminta untuk menentukan nilai \( a + b \).
\( a + b = -3 + 1 = -2 \).