Jika limit x -> 0 x^3/(tan x - sin x) = A-2, maka nilai

Nilai (A+2) adalah 6.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital karena ketika x mendekati 0, baik pembilang (x^3) maupun penyebut (tan x - sin x) keduanya mendekati 0, sehingga menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut terhadap x.
Turunan dari x^3 adalah 3x^2.
Turunan dari (tan x - sin x) adalah sec^2(x) - cos(x).

Maka, limitnya menjadi: lim x->0 (3x^2) / (sec^2(x) - cos(x))

Langkah 2: Karena substitusi x=0 masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 (karena sec^2(0) = 1 dan cos(0) = 1, sehingga penyebutnya 1 - 1 = 0), kita terapkan lagi aturan L'Hopital.

Turunan dari 3x^2 adalah 6x.
Turunan dari (sec^2(x) - cos(x)) adalah 2*sec(x)*(sec(x)tan(x)) - (-sin(x)) = 2*sec^2(x)tan(x) + sin(x).

Maka, limitnya menjadi: lim x->0 (6x) / (2*sec^2(x)tan(x) + sin(x))

Langkah 3: Karena substitusi x=0 masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita terapkan lagi aturan L'Hopital.

Turunan dari 6x adalah 6.
Turunan dari (2*sec^2(x)tan(x) + sin(x)) adalah [2*(2*sec(x)*(sec(x)tan(x)))*tan(x) + 2*sec^2(x)*(sec^2(x))] + cos(x)
= [4*sec^2(x)tan^2(x) + 2*sec^4(x)] + cos(x)

Maka, limitnya menjadi: lim x->0 6 / (4*sec^2(x)tan^2(x) + 2*sec^4(x) + cos(x))

Langkah 4: Sekarang substitusikan x=0.
Kita tahu bahwa sec(0) = 1, tan(0) = 0, dan cos(0) = 1.

Maka, penyebutnya menjadi: 4*(1^2)*(0^2) + 2*(1^4) + 1 = 0 + 2 + 1 = 3.

Jadi, nilai limitnya adalah 6 / 3 = 2.

Diketahui bahwa limit x -> 0 x^3/(tan x - sin x) = A - 2.
Kita telah menemukan bahwa nilai limitnya adalah 2.
Maka, 2 = A - 2.
Menyelesaikan untuk A: A = 2 + 2 = 4.

Pertanyaannya adalah nilai dari (A + 2).
(A + 2) = 4 + 2 = 6.