Jika matriks A=(2a 2 -4 a) dan B=(2b b -4 b) mempunyai

Semua bilangan real b kecuali b=0 dan b=-2

Pembahasan

Pertanyaan ini berkaitan dengan sifat determinan matriks dan invers matriks. Diberikan matriks A=(2a 2 -4 a) dan B=(2b b -4 b). Kita perlu mencari kondisi agar det (ABA^-1 B^-1) > 0.

Pertama, mari kita hitung determinan dari matriks A dan B.
Untuk matriks A:
det(A) = (2a * a) - (2 * -4) = 2a^2 + 8.
Agar matriks A mempunyai invers, det(A) harus tidak sama dengan nol. Jadi, 2a^2 + 8 ≠ 0. Karena a^2 selalu non-negatif, 2a^2 + 8 selalu positif, sehingga matriks A selalu mempunyai invers untuk setiap bilangan real a.

Untuk matriks B:
det(B) = (2b * b) - (b * -4) = 2b^2 + 4b.
Agar matriks B mempunyai invers, det(B) ≠ 0. Maka, 2b^2 + 4b ≠ 0, atau 2b(b + 2) ≠ 0. Ini berarti b ≠ 0 dan b ≠ -2.

Sekarang, mari kita analisis ekspresi det (ABA^-1 B^-1):
Kita tahu bahwa det(XY) = det(X)det(Y) dan det(X^-1) = 1/det(X).
Maka, det(ABA^-1 B^-1) = det(A) * det(B) * det(A^-1) * det(B^-1)
= det(A) * det(B) * (1/det(A)) * (1/det(B))
= (det(A) / det(A)) * (det(B) / det(B))
= 1 * 1
= 1

Jadi, det (ABA^-1 B^-1) = 1. Karena 1 selalu lebih besar dari 0, maka det (ABA^-1 B^-1) > 0 selalu terpenuhi untuk semua nilai a dan b, asalkan matriks A dan B mempunyai invers.

Syarat agar matriks A dan B mempunyai invers adalah det(A) ≠ 0 dan det(B) ≠ 0.
Kita sudah menemukan bahwa det(A) = 2a^2 + 8, yang selalu positif sehingga A selalu mempunyai invers.
Untuk matriks B, agar mempunyai invers, det(B) = 2b^2 + 4b ≠ 0. Ini berarti 2b(b + 2) ≠ 0, sehingga b ≠ 0 dan b ≠ -2.

Oleh karena itu, semua bilangan real b yang memenuhi det (ABA^-1 B^-1) > 0 adalah semua bilangan real b kecuali b = 0 dan b = -2.