Jika matriks A=(4 1 7 2) dan B=(-63 35 245 -133) serta

Matriks Identitas $\\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari invers dari matriks A, lalu menghitung $\\left(A^{-1}\right)^3$, dan terakhir menambahkannya dengan matriks B.

Matriks A = 
$$ \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix} $$ 

Determinan dari A adalah: $det(A) = (4 \times 2) - (1 \times 7) = 8 - 7 = 1$.

Invers dari A, $A^{-1}$, adalah: 
$$ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} $$ 

Selanjutnya, kita hitung $\\left(A^{-1}\right)^2$: 
$$ \left(A^{-1}\right)^2 = A^{-1} \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} $$ 
$$ = \begin{pmatrix} (2 \times 2 + (-1) \times (-7)) & (2 \times (-1) + (-1) \times 4) \\ (-7 \times 2 + 4 \times (-7)) & (-7 \times (-1) + 4 \times 4) \end{pmatrix} $$ 
$$ = \begin{pmatrix} (4+7) & (-2-4) \\ (-14-28) & (7+16) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & -6 \\ -42 & 23 \end{pmatrix} $$ 

Sekarang, kita hitung $\\left(A^{-1}\right)^3$: 
$$ \left(A^{-1}\right)^3 = \left(A^{-1}\right)^2 \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 11 & -6 \\ -42 & 23 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} $$ 
$$ = \begin{pmatrix} (11 \times 2 + (-6) \times (-7)) & (11 \times (-1) + (-6) \times 4) \\ (-42 \times 2 + 23 \times (-7)) & (-42 \times (-1) + 23 \times 4) \end{pmatrix} $$ 
$$ = \begin{pmatrix} (22+42) & (-11-24) \\ (-84-161) & (42+92) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 64 & -35 \\ -245 & 134 \end{pmatrix} $$ 

Terakhir, kita tambahkan dengan matriks B: 
Matriks B = 
$$ \begin{pmatrix} -63 & 35 \\ 245 & -133 \end{pmatrix} $$ 

$$ \left(A^{-1}\right)^3 + B = \begin{pmatrix} 64 & -35 \\ -245 & 134 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -63 & 35 \\ 245 & -133 \end{pmatrix} $$ 
$$ = \begin{pmatrix} (64 + (-63)) & (-35 + 35) \\ (-245 + 245) & (134 + (-133)) \end{pmatrix} $$ 
$$ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ 

Hasilnya adalah matriks identitas I.