Jika persamaan kuadrat px^2-2px+1=0 mempunyai akar kembar

y = -6x + 9

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada kurva f(x) = (x³+2)/x³ di titik (x₁, f(x₁)), di mana x₁ adalah akar kembar dari persamaan kuadrat px² - 2px + 1 = 0, kita perlu melakukan beberapa langkah:

1.  **Menentukan nilai x₁ dari persamaan kuadrat:**
    Persamaan kuadrat px² - 2px + 1 = 0 memiliki akar kembar jika diskriminannya (D) sama dengan nol.
    D = b² - 4ac
    Dalam kasus ini, a = p, b = -2p, dan c = 1.
    D = (-2p)² - 4(p)(1) = 0
    4p² - 4p = 0
    4p(p - 1) = 0
    Ini memberikan dua kemungkinan nilai p: p = 0 atau p = 1.
    Namun, jika p = 0, persamaan kuadrat menjadi 0x² - 0x + 1 = 0, yang menjadi 1 = 0, sebuah kontradiksi. Oleh karena itu, p ≠ 0.
    Sehingga, p = 1.

    Jika p = 1, persamaan kuadrat menjadi: x² - 2x + 1 = 0.
    Ini dapat difaktorkan menjadi (x - 1)² = 0.
    Jadi, akar kembar x₁ = 1.

2.  **Menentukan titik singgung (x₁, f(x₁)):**
    Kita tahu x₁ = 1.
    Sekarang kita hitung f(x₁) = f(1) menggunakan fungsi f(x) = (x³+2)/x³.
    f(1) = (1³ + 2) / 1³ = (1 + 2) / 1 = 3.
    Jadi, titik singgungnya adalah (1, 3).

3.  **Menentukan gradien garis singgung dengan mencari turunan pertama f(x):**
    Pertama, kita bisa menyederhanakan f(x):
    f(x) = (x³+2)/x³ = x³/x³ + 2/x³ = 1 + 2x⁻³.

    Sekarang, cari turunan pertama f'(x):
    f'(x) = d/dx (1 + 2x⁻³)
    f'(x) = 0 + 2 * (-3)x⁻⁴
    f'(x) = -6x⁻⁴ = -6/x⁴.

    Hitung gradien (m) di titik x₁ = 1:
    m = f'(1) = -6 / 1⁴ = -6.

4.  **Mencari persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y₁ = m(x - x₁):**
    Dengan titik (x₁, y₁) = (1, 3) dan m = -6:
    y - 3 = -6(x - 1)
    y - 3 = -6x + 6
    y = -6x + 6 + 3
    y = -6x + 9

Jadi, persamaan garis singgung pada kurva f(x) = (x³+2)/x³ di (x₁, f(x₁)) adalah y = -6x + 9.