Jika simpanan awal adalah P0, suku bunga tunggal maupun

a. delta B = P0r^2. b. Terdapat ketidaksesuaian dalam rumus yang diminta untuk dibuktikan pada bagian b.

Pembahasan

a. Bukti untuk simpanan selama 2 tahun:
Bunga majemuk (BM) untuk 2 tahun = P0(1 + r)^2 - P0 = P0(1 + 2r + r^2) - P0 = P0 + 2Pr P0 + P0r^2 - P0 = 2Pr P0 + P0r^2.
Bunga tunggal (BT) untuk 2 tahun = P0 * r * 2 = 2Pr P0.
Selisih bunga (delta B) = BM - BT = (2Pr P0 + P0r^2) - 2Pr P0 = P0r^2.
Jadi, delta B = r^2 P0 terbukti benar untuk simpanan selama 2 tahun.

b. Bukti untuk simpanan selama 3 tahun:
Bunga majemuk (BM) untuk 3 tahun = P0(1 + r)^3 - P0 = P0(1 + 3r + 3r^2 + r^3) - P0 = P0 + 3Pr P0 + 3P0r^2 + P0r^3 - P0 = 3Pr P0 + 3P0r^2 + P0r^3.
Bunga tunggal (BT) untuk 3 tahun = P0 * r * 3 = 3Pr P0.
Selisih bunga (delta B) = BM - BT = (3Pr P0 + 3P0r^2 + P0r^3) - 3Pr P0 = 3P0r^2 + P0r^3.
Kita bisa faktorkan P0r^2:
delta B = P0r^2 (3 + r).
Jika kita ingin sesuai dengan bentuk (3+r^2)r P0, maka:
delta B = r^2 P0 (3 + r) = (3r^2 + r^3) P0.
Bentuk yang diminta adalah (3+r^2)r P0 = (3r + r^3) P0.
Sepertinya ada kesalahan dalam soal yang diminta untuk dibuktikan pada bagian b, karena hasil yang didapatkan dari perhitungan bunga majemuk dan bunga tunggal adalah (3r^2 + r^3) P0, bukan (3+r^2)r P0.

Mari kita cek kembali perhitungan bunga majemuk untuk 3 tahun:
Akhir tahun 1: P0(1+r)
Akhir tahun 2: P0(1+r)^2
Akhir tahun 3: P0(1+r)^3
Bunga Majemuk = P0(1+r)^3 - P0 = P0(1 + 3r + 3r^2 + r^3) - P0 = P0 + 3P0r + 3P0r^2 + P0r^3 - P0 = 3P0r + 3P0r^2 + P0r^3.
Bunga Tunggal = P0 * r * 3 = 3P0r.
Selisih = (3P0r + 3P0r^2 + P0r^3) - 3P0r = 3P0r^2 + P0r^3 = P0r^2(3+r).

Jika yang dimaksud adalah selisih bunga pada tahun ke-3 saja (bunga majemuk tahun ke-3 dikurangi bunga tunggal tahun ke-3), maka:
Bunga majemuk tahun ke-3 = P0(1+r)^3 - P0(1+r)^2 = P0(1+r)^2 ( (1+r) - 1 ) = P0(1+r)^2 r.
Bunga tunggal tahun ke-3 = P0 * r.
Selisih = P0(1+r)^2 r - P0r = P0r ( (1+r)^2 - 1 ) = P0r (1 + 2r + r^2 - 1) = P0r (2r + r^2) = 2P0r^2 + P0r^3.

Asumsi soal adalah selisih total bunga yang diterima setelah n tahun:
Untuk 3 tahun, delta B = 3P0r^2 + P0r^3 = P0r^2(3+r).
Bentuk yang diminta adalah delta B = (3+r^2)r P0 = 3rP0 + r^3 P0.

Kedua bentuk tidak sama. Namun, jika kita menginterpretasikan selisih bunga sebagai bunga majemuk yang melebihi bunga tunggal:
Selisih = Bunga Majemuk - Bunga Tunggal
Untuk 3 tahun:
Bunga Majemuk = P0(1+r)^3 - P0 = P0(1 + 3r + 3r^2 + r^3) - P0 = 3P0r + 3P0r^2 + P0r^3
Bunga Tunggal = 3P0r
Selisih = (3P0r + 3P0r^2 + P0r^3) - 3P0r = 3P0r^2 + P0r^3 = P0r^2(3+r).

Jika kita ingin mendapatkan bentuk (3+r^2)r P0 = 3rP0 + r^3 P0, maka selisih bunga majemuk dan bunga tunggal harusnya:
(3rP0 + r^3 P0) - 3P0r = r^3 P0. Ini tidak konsisten.

Kemungkinan lain adalah pertanyaan mencoba membuktikan sesuatu yang berhubungan dengan perbedaan bunga per periode, bukan total bunga. Namun, berdasarkan formulasi "selisih antara bunga majemuk dan bunga tunggal yang diterima", interpretasi total bunga adalah yang paling logis.

Jika kita menganggap soal ada sedikit kekeliruan penulisan dan seharusnya 
delta B = (3r + r^2) r P0, maka:
delta B = (3r^2 + r^3) P0, yang sesuai dengan hasil perhitungan kita.

Mari kita coba buktikan bahwa delta B = (3+r)r^2 P0.
Kita sudah punya delta B = P0r^2(3+r). Ini terbukti benar.