Jika sudut antara vektor a=i+j-rk dan b=ri-rj-2k adalah 60.

Tidak ada solusi real positif untuk r berdasarkan perhitungan.

Pembahasan

Kita diberikan dua vektor, a = i + j - rk dan b = ri - rj - 2k. Sudut antara kedua vektor ini adalah 60 derajat. Rumus untuk sudut antara dua vektor adalah cos(theta) = (a . b) / (|a| |b|). Pertama, mari kita hitung hasil kali titik (dot product) dari a dan b: a . b = (1)(r) + (1)(-r) + (-r)(-2) = r - r + 2r = 2r. Selanjutnya, mari kita hitung magnitudo (panjang) dari masing-masing vektor. Magnitudo dari a, |a| = sqrt(1^2 + 1^2 + (-r)^2) = sqrt(1 + 1 + r^2) = sqrt(2 + r^2). Magnitudo dari b, |b| = sqrt(r^2 + (-r)^2 + (-2)^2) = sqrt(r^2 + r^2 + 4) = sqrt(2r^2 + 4). Sekarang kita masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus sudut: cos(60) = (2r) / (sqrt(2 + r^2) * sqrt(2r^2 + 4)). Kita tahu bahwa cos(60) = 1/2. Jadi, 1/2 = (2r) / (sqrt((2 + r^2)(2r^2 + 4))). Kuadratkan kedua sisi: (1/2)^2 = (2r)^2 / ((2 + r^2)(2r^2 + 4)). 1/4 = 4r^2 / (4r^2 + 8 + 2r^4 + 4r^2). 1/4 = 4r^2 / (2r^4 + 10r^2 + 8). Kalikan silang: 2r^4 + 10r^2 + 8 = 16r^2. Pindahkan semua suku ke satu sisi: 2r^4 - 6r^2 + 8 = 0. Bagi seluruh persamaan dengan 2: r^4 - 3r^2 + 4 = 0. Misalkan x = r^2. Persamaan menjadi x^2 - 3x + 4 = 0. Kita gunakan rumus kuadrat untuk mencari x: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a. Di sini, a = 1, b = -3, c = 4. Diskriminan = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7. Karena diskriminan negatif, tidak ada solusi real untuk x, yang berarti tidak ada solusi real untuk r. Mari kita periksa kembali perhitungannya. Kemungkinan ada kesalahan dalam pemahaman soal atau perhitungan. *Re-evaluasi perhitungan*: cos(60) = 1/2. a.b = 2r. |a| = sqrt(2+r^2). |b| = sqrt(2r^2+4). (1/2) = 2r / (sqrt(2+r^2)sqrt(2r^2+4)). 1/4 = 4r^2 / ((2+r^2)(2r^2+4)). 1/4 = 4r^2 / (4r^2+8+2r^4+4r^2). 1/4 = 4r^2 / (2r^4+10r^2+8). 2r^4+10r^2+8 = 16r^2. 2r^4-6r^2+8 = 0. r^4-3r^2+4 = 0. Misalkan x=r^2. x^2-3x+4=0. Diskriminan = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9-16 = -7. Masih negatif. Terdapat kemungkinan bahwa soal ini tidak memiliki solusi real positif untuk r, atau ada kesalahan pengetikan dalam soal. Namun, jika kita mengasumsikan ada kesalahan dan mencoba mencari nilai r yang mungkin mendekati, kita harus meninjau ulang soal. Jika soal ini berasal dari sumber yang dapat dipercaya, mari kita coba pendekatan lain atau periksa kembali rumus.

*Asumsi kesalahan pengetikan soal*: Jika vektornya adalah a=i+j+rk dan b=ri+rj+2k, maka a.b = r+r+2r = 4r. |a|=sqrt(2+r^2). |b|=sqrt(2r^2+4). cos(60) = 4r / (sqrt(2+r^2)sqrt(2r^2+4)). 1/2 = 4r / (sqrt((2+r^2)(2r^2+4))). 1/4 = 16r^2 / (2r^4+10r^2+8). 2r^4+10r^2+8 = 64r^2. 2r^4-54r^2+8=0. r^4-27r^2+4=0. Misal x=r^2. x^2-27x+4=0. D = 27^2 - 4(1)(4) = 729 - 16 = 713. x = (27 ± sqrt(713))/2. Karena x = r^2, r = sqrt(x). Ini memberikan nilai r positif. Namun, ini adalah spekulasi.

Kembali ke soal asli: a=i+j-rk dan b=ri-rj-2k. Ada kemungkinan bahwa r harus memenuhi kondisi tertentu agar ada solusi. Jika soalnya benar, maka tidak ada nilai r positif yang memenuhi.