Jika x^2-x-2>0 dan f(x)=(x-2)(x^2-x+3)/(x+1), maka untuk

f(x) > 0

Pembahasan

Untuk menentukan kondisi dari f(x)=(x-2)(x^2-x+3)/(x+1) berdasarkan ketidaksamaan x^2-x-2>0, kita perlu menganalisis kedua bagian tersebut.

Pertama, selesaikan ketidaksamaan x^2-x-2>0:
Faktorkan kuadratik: (x-2)(x+1) > 0
Ini berarti x < -1 atau x > 2.

Kedua, analisis fungsi f(x)=(x-2)(x^2-x+3)/(x+1):
Fungsi ini memiliki pembuat nol di x=2 (dari faktor x-2) dan nilai yang membuat penyebut nol di x=-1 (dari faktor x+1).
Perhatikan juga faktor kuadratik x^2-x+3. Untuk mengetahui akarnya, kita gunakan diskriminan (D = b^2 - 4ac):
D = (-1)^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11.
Karena diskriminan negatif dan koefisien x^2 positif (yaitu 1), maka x^2-x+3 selalu positif untuk semua nilai real x.

Sekarang kita gabungkan informasi ini:
f(x) = (x-2) * (selalu positif) / (x+1)

Kita perlu mempertimbangkan domain fungsi, yaitu x \neq -1.

Kondisi f(x) tergantung pada tanda dari (x-2)/(x+1).

Jika kita perhatikan ketidaksamaan awal x^2-x-2>0 yang setara dengan (x-2)(x+1) > 0, ini terjadi ketika x < -1 atau x > 2.

Sekarang mari kita lihat tanda f(x) dalam interval-interval ini:
1. Jika x < -1:
   - (x-2) bernilai negatif.
   - (x+1) bernilai negatif.
   - (x^2-x+3) bernilai positif.
   Maka f(x) = (negatif) * (positif) / (negatif) = positif.

2. Jika x > 2:
   - (x-2) bernilai positif.
   - (x+1) bernilai positif.
   - (x^2-x+3) bernilai positif.
   Maka f(x) = (positif) * (positif) / (positif) = positif.

Jadi, untuk setiap nilai x yang memenuhi x^2-x-2>0 (yaitu x < -1 atau x > 2), maka f(x) akan selalu positif.