Jika z^(1/2)=x^(1/2)+y^(1/2), buktikan bahwa (x+y-z)^2=4xy

Kuadratkan kedua sisi $z^{1/2}=x^{1/2}+y^{1/2}$ menjadi $z = x+y+2(xy)^{1/2}$. Susun ulang menjadi $z-x-y=2(xy)^{1/2}$. Kuadratkan lagi kedua sisi untuk mendapatkan $(z-x-y)^2=4xy$, yang sama dengan $(x+y-z)^2=4xy$.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas ini, kita mulai dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan awal:
$z^{1/2} = x^{1/2} + y^{1/2}$
$(z^{1/2})^2 = (x^{1/2} + y^{1/2})^2$
$z = x + y + 2(xy)^{1/2}$
Pindahkan suku-suku yang tidak mengandung akar ke satu sisi:
$z - x - y = 2(xy)^{1/2}$
Sekarang, kuadratkan kedua sisi lagi untuk menghilangkan akar:
$(z - x - y)^2 = (2(xy)^{1/2})^2$
$(z - x - y)^2 = 4xy$
Ini membuktikan bahwa jika $z^{1/2} = x^{1/2} + y^{1/2}$, maka $(x + y - z)^2 = 4xy$.