Kesamaan Dua Bilangan Kompleks. Tentukan bilangan real x

y = 3/2 x atau x=0, y=0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan kesamaan dua bilangan kompleks (4 - 3i) x^2 + (3 + 2i) xy = 4 y^2 - 1/2 x^2 + (3xy - 2y^2) i, kita perlu menyamakan bagian real dan bagian imajiner dari kedua sisi persamaan.

Sisi kiri persamaan:
Bagian Real: 4x^2 + 3xy
Bagian Imajiner: -3x^2 + 2xy

Sisi kanan persamaan:
Bagian Real: 4y^2 - 1/2 x^2
Bagian Imajiner: 3xy - 2y^2

Menyamakan bagian real:
4x^2 + 3xy = 4y^2 - 1/2 x^2
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
4x^2 + 1/2 x^2 + 3xy - 4y^2 = 0
(8/2 + 1/2) x^2 + 3xy - 4y^2 = 0
9/2 x^2 + 3xy - 4y^2 = 0
Kalikan dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
9x^2 + 6xy - 8y^2 = 0

Menyamakan bagian imajiner:
-3x^2 + 2xy = 3xy - 2y^2
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
-3x^2 + 2xy - 3xy + 2y^2 = 0
-3x^2 - xy + 2y^2 = 0
Kalikan dengan -1 agar koefisien x^2 positif:
3x^2 + xy - 2y^2 = 0

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan: 
1) 9x^2 + 6xy - 8y^2 = 0
2) 3x^2 + xy - 2y^2 = 0

Kita bisa mencoba menyelesaikan sistem ini. Mari kita coba faktorkan persamaan kedua:
(3x - 2y)(x + y) = 0
Ini memberikan dua kemungkinan:
Kasus 1: 3x - 2y = 0  => 3x = 2y => y = 3/2 x
Kasus 2: x + y = 0   => y = -x

Sekarang kita substitusikan kedua kasus ini ke persamaan pertama (9x^2 + 6xy - 8y^2 = 0).

Substitusi Kasus 1 (y = 3/2 x):
9x^2 + 6x(3/2 x) - 8(3/2 x)^2 = 0
9x^2 + 9x^2 - 8(9/4 x^2) = 0
18x^2 - 8(9/4) x^2 = 0
18x^2 - 2 * 9 x^2 = 0
18x^2 - 18x^2 = 0
0 = 0

Ini berarti bahwa jika y = 3/2 x, persamaan pertama selalu terpenuhi. Jadi, pasangan (x, y) yang memenuhi adalah semua pasangan di mana y = 3/2 x.

Substitusi Kasus 2 (y = -x):
9x^2 + 6x(-x) - 8(-x)^2 = 0
9x^2 - 6x^2 - 8x^2 = 0
3x^2 - 8x^2 = 0
-5x^2 = 0
Ini hanya terpenuhi jika x = 0.
Jika x = 0, maka y = -x = 0.
Jadi, solusi trivialnya adalah x=0, y=0.

Kesimpulannya, bilangan real x dan y yang memenuhi kesamaan tersebut adalah semua pasangan (x, y) yang memenuhi relasi y = 3/2 x, atau x=0 dan y=0.