Kubus A B C D E F G H dengan panjang rusuk a cm . Titik p

(a√145)/10 cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya kubus. Untuk menentukan jarak antara titik Q dan garis PG, kita perlu menggunakan teorema Pythagoras dalam ruang.

Diketahui:
Kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 'a'.
Titik P di tengah-tengah EH.
Titik Q di tengah-tengah BC.

Langkah-langkah:
1. Tentukan koordinat titik-titik:
Misalkan titik B = (0, 0, 0), maka:
E = (0, a, 0)
H = (0, a, a)
G = (a, a, a)
C = (a, 0, 0)

2. Tentukan posisi P dan Q:
Karena P di tengah EH, maka P = (0, a, a/2).
Karena Q di tengah BC, maka Q = (a/2, 0, 0).

3. Tentukan vektor PG:
Vektor PG = G - P = (a, a, a) - (0, a, a/2) = (a, 0, a/2).
Panjang PG = sqrt(a^2 + 0^2 + (a/2)^2) = sqrt(a^2 + a^2/4) = sqrt(5a^2/4) = (a/2) * sqrt(5).

4. Hitung jarak Q ke garis PG:
Jarak titik ke garis dalam ruang dapat dihitung menggunakan rumus:
Jarak = |vektor QP x vektor arah garis| / |vektor arah garis|

   Vektor QP = P - Q = (0, a, a/2) - (a/2, 0, 0) = (-a/2, a, a/2)

   Vektor arah garis PG adalah vektor PG = (a, 0, a/2).

   Vektor QP x PG =  | i    j    k   |
                     | -a/2 a   a/2  |
                     | a    0   a/2  |

             = i(a*(a/2) - 0*(a/2)) - j((-a/2)*(a/2) - a*(a/2)) + k((-a/2)*0 - a*a)
             = i(a^2/2) - j(-a^2/4 - a^2/2) + k(-a^2)
             = i(a^2/2) - j(-3a^2/4) + k(-a^2)
             = (a^2/2, 3a^2/4, -a^2)

   |QP x PG| = sqrt((a^2/2)^2 + (3a^2/4)^2 + (-a^2)^2)
             = sqrt(a^4/4 + 9a^4/16 + a^4)
             = sqrt(4a^4/16 + 9a^4/16 + 16a^4/16)
             = sqrt(29a^4/16)
             = (a^2/4) * sqrt(29)

   |PG| = (a/2) * sqrt(5)

   Jarak Q ke PG = |QP x PG| / |PG|
                  = ((a^2/4) * sqrt(29)) / ((a/2) * sqrt(5))
                  = (a^2 * sqrt(29) * 2) / (4 * a * sqrt(5))
                  = (a * sqrt(29)) / (2 * sqrt(5))
                  = (a * sqrt(29) * sqrt(5)) / (2 * 5)
                  = (a * sqrt(145)) / 10

Jadi, jarak Q ke PG adalah (a√145)/10 cm.