Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada

$\frac{a\sqrt{3}}{6}$ cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik K ke bidang BDHF, kita perlu memahami konsep proyeksi titik ke bidang dalam ruang.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Titik K terletak pada perpanjangan DA sehingga KA = 1/3 KD.
Ini berarti K-A-D adalah segaris, dan jarak KA adalah sepertiga dari jarak KD.
Jika kita tetapkan panjang rusuk a, maka DA = a.
Misalkan KD = x, maka KA = 1/3 x. Karena K, A, D segaris dan A di antara K dan D, maka KD = KA + AD.
Jadi, x = (1/3)x + a.
Ini memberikan (2/3)x = a, sehingga x = (3/2)a.
Dengan demikian, KA = (1/3) * (3/2)a = (1/2)a.

Sekarang, kita perlu mencari jarak titik K ke bidang BDHF.
Bidang BDHF adalah bidang diagonal dari kubus.
Kita bisa menggunakan sistem koordinat untuk mempermudah perhitungan. Misalkan titik D berada di titik asal (0,0,0).
Karena ABCD.EFGH adalah kubus dengan rusuk a, maka:
D = (0,0,0)
A = (a,0,0)
B = (a,a,0)
C = (0,a,0)
E = (0,0,a)
F = (a,0,a)
G = (a,a,a)
H = (0,a,a)

Titik K terletak pada perpanjangan DA. Karena A = (a,0,0) dan D = (0,0,0), maka garis DA terletak pada sumbu x. Perpanjangan DA berarti K berada di sisi negatif sumbu x jika kita mengambil arah D ke A sebagai positif.
Dengan KA = (1/2)a dan K, A, D segaris, posisi K adalah (a + (1/2)a, 0, 0) = ((3/2)a, 0, 0) jika K berada di luar DA sehingga D di antara K dan A. Namun, soal menyatakan 'perpanjangan DA' dan KA=1/3KD. Ini menyiratkan K, A, D berurutan. Jika D=(0,0,0) dan A=(a,0,0), maka K harus memiliki koordinat (-1/2 a, 0, 0).

Sekarang kita tentukan persamaan bidang BDHF.
B = (a,a,0)
D = (0,0,0)
H = (0,a,a)
F = (a,0,a)

Kita dapat mencari vektor normal bidang BDHF. Vektor $\vec{DB} = (a,a,0)$ dan vektor $\vec{DH} = (0,a,a)$.
Vektor normal $\vec{n} = \vec{DB} \times \vec{DH} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a & a & 0 \\ 0 & a & a \end{vmatrix} = i(a^2) - j(a^2) + k(a^2) = (a^2, -a^2, a^2)$.
Kita bisa sederhanakan vektor normal menjadi (1, -1, 1).
Persamaan bidang yang melalui D(0,0,0) dengan normal (1, -1, 1) adalah $1(x-0) - 1(y-0) + 1(z-0) = 0$, atau $x - y + z = 0$.

Jarak titik K($(-1/2)a$, 0, 0) ke bidang $x - y + z = 0$ diberikan oleh rumus:
$Jarak = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Di sini, $(x_0, y_0, z_0) = ((-1/2)a, 0, 0)$, A=1, B=-1, C=1, D=0.
$Jarak = \frac{|1*(-1/2)a - 1*0 + 1*0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|-1/2 a|}{\sqrt{3}} = \frac{1/2 a}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Namun, mari kita periksa kembali posisi K. Jika K pada perpanjangan DA sehingga KA = 1/3 KD. Ini berarti K-A-D atau D-A-K atau K-D-A. 'Perpanjangan DA' biasanya berarti K berada di luar segmen DA, searah dengan perpanjangan D ke A. Jadi K-D-A atau D-A-K.
Jika D-A-K, maka KD = KA + AD. KA = 1/3 KD => KD = 1/3 KD + a => 2/3 KD = a => KD = 3/2 a. Maka KA = 1/2 a. Posisi K adalah (3/2)a, 0, 0 jika D=(0,0,0) dan A=(a,0,0).
Jika K-D-A, maka KA = KD + DA. KA = 1/3 KD => 1/3 KD = KD + a => -2/3 KD = a => KD = -3/2 a (tidak mungkin).
Jika K-A-D, maka KD = KA + AD. KA = 1/3 KD => KD = 1/3 KD + a => 2/3 KD = a => KD = 3/2 a. Maka KA = 1/2 a. Ini berarti K berada di sisi D dari A, jadi K = A + (A-D) * (KA/AD) = (a,0,0) + (a,0,0) * ( (1/2)a / a ) = (a,0,0) + (1/2 a, 0, 0) = (3/2 a, 0, 0).

Mari kita asumsikan K berada di luar segmen DA sehingga K-D-A.
DA = a. KA = 1/3 KD. Jika D adalah titik tengah antara K dan segmen DA, maka KA = 1/2 AD = 1/2 a. Maka KD = KA + AD = 1/2 a + a = 3/2 a. KA = 1/2 a. Apakah KA = 1/3 KD? 1/2 a = 1/3 (3/2 a) = 1/2 a. Ya, ini konsisten.
Jadi K terletak pada perpanjangan DA sehingga D berada di antara K dan A.
Jika D=(0,0,0), A=(a,0,0), maka K=(-1/2 a, 0, 0).
Ini adalah posisi K yang saya gunakan sebelumnya.

Mari kita coba cara lain. Proyeksi K ke bidang BDHF.
Bidang BDHF dibentuk oleh vektor $\vec{DB} = (a,a,0)$ dan $\vec{DH} = (0,a,a)$.
K = (-1/2 a, 0, 0).
Kita bisa menganggap K berada pada sumbu x negatif.
Bidang BDHF memotong sumbu x di titik D(0,0,0).
Jarak K ke bidang BDHF adalah jarak K ke proyeksinya pada bidang tersebut.
Karena bidang BDHF melalui D(0,0,0), jarak K ke bidang adalah jarak K ke D jika K tegak lurus terhadap bidang. Namun K tidak tegak lurus.

Kita perlu mencari komponen vektor $\vec{DK}$ yang tegak lurus terhadap bidang BDHF. Vektor $\vec{DK} = (-1/2 a, 0, 0)$.
Vektor normal bidang BDHF adalah $\vec{n} = (1, -1, 1)$.
Proyeksi $\vec{DK}$ pada $\vec{n}$ adalah $\text{proj}_{\vec{n}} \vec{DK} = \frac{\vec{DK} \cdot \vec{n}}{\|\vec{n}\|^2} \vec{n}$.
$\vec{DK} \cdot \vec{n} = (-1/2 a)(1) + (0)(-1) + (0)(1) = -1/2 a$.
$\parallel \vec{n} \parallel^2 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3$.
$\text{proj}_{\vec{n}} \vec{DK} = \frac{-1/2 a}{3} (1, -1, 1) = (-1/6 a, 1/6 a, -1/6 a)$.

Jarak dari K ke bidang adalah panjang dari proyeksi vektor $\vec{DK}$ pada vektor normal $\vec{n}$.
Jarak $= \frac{|\vec{DK} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|} = \frac{|-1/2 a|}{\sqrt{3}} = \frac{a/2}{\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Jawaban yang benar adalah $\frac{a\sqrt{3}}{6}$.