Tentukan hubungan antara lingkaran x^2+y^2+8x+8y+23=0 dan

Kedua lingkaran berpotongan di dua titik.

Pembahasan

Untuk menentukan hubungan antara dua lingkaran, kita perlu membandingkan jarak antara pusat kedua lingkaran dengan jumlah dan selisih jari-jari kedua lingkaran.

Lingkaran 1: $x^2 + y^2 + 8x + 8y + 23 = 0$
Untuk mencari pusat dan jari-jari, kita ubah persamaan ke bentuk standar $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
Lengkapi kuadrat untuk x: $(x^2 + 8x) = (x + 4)^2 - 16$
Lengkapi kuadrat untuk y: $(y^2 + 8y) = (y + 4)^2 - 16$

Substitusikan kembali ke persamaan: $((x + 4)^2 - 16) + ((y + 4)^2 - 16) + 23 = 0$
$(x + 4)^2 + (y + 4)^2 - 32 + 23 = 0$
$(x + 4)^2 + (y + 4)^2 = 9$

Pusat lingkaran 1 ($P_1$) adalah $(-4, -4)$.
Jari-jari lingkaran 1 ($r_1$) adalah $\sqrt{9} = 3$.

Lingkaran 2: $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 8 = 1$
Pindahkan konstanta ke ruas kiri: $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 7 = 0$

Lengkapi kuadrat untuk x: $(x^2 - 6x) = (x - 3)^2 - 9$
Lengkapi kuadrat untuk y: $(y^2 + 8y) = (y + 4)^2 - 16$

Substitusikan kembali ke persamaan: $((x - 3)^2 - 9) + ((y + 4)^2 - 16) + 7 = 0$
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 - 25 + 7 = 0$
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 18$

Pusat lingkaran 2 ($P_2$) adalah $(3, -4)$.
Jari-jari lingkaran 2 ($r_2$) adalah $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Sekarang, hitung jarak antara kedua pusat ($P_1$ dan $P_2$).
$P_1 = (-4, -4)$ dan $P_2 = (3, -4)$
Jarak $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$d = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-4 - (-4))^2}$
$d = \sqrt{(3 + 4)^2 + (-4 + 4)^2}$
$d = \sqrt{7^2 + 0^2}$
$d = \sqrt{49}$
$d = 7$

Sekarang bandingkan jarak ($d$) dengan jumlah dan selisih jari-jari ($r_1$ dan $r_2$).
$r_1 = 3$
$r_2 = 3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242$

Jumlah jari-jari: $r_1 + r_2 = 3 + 3\sqrt{2} \approx 3 + 4.242 = 7.242$
Selisih jari-jari: $|r_1 - r_2| = |3 - 3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2} - 3 \approx 4.242 - 3 = 1.242$

Kita punya:
$d = 7$
$r_1 + r_2 \approx 7.242$
$|r_1 - r_2| \approx 1.242$

Karena $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ ($1.242 < 7 < 7.242$), kedua lingkaran berpotongan di dua titik.