Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk a akar(2) cm. Jarak H ke

a cm

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk a * sqrt(2) cm. Jarak titik H ke bidang DEG dapat dihitung dengan menggunakan konsep proyeksi titik ke bidang. Bidang DEG dibentuk oleh titik D, E, dan G. Kita perlu mencari tinggi dari titik H ke bidang DEG. 

Misalkan titik H berada pada koordinat (0, 0, 0). Karena ini adalah kubus, maka rusuk-rusuknya tegak lurus. Jika kita menempatkan H di (0,0,0), maka:

Titik E berada pada (a*sqrt(2), 0, 0)
Titik G berada pada (0, a*sqrt(2), 0)
Titik D berada pada (0, 0, a*sqrt(2))

Namun, penempatan koordinat ini akan membuat perhitungan jarak ke bidang menjadi rumit karena bidang DEG tidak sejajar dengan bidang koordinat manapun. Mari kita gunakan pendekatan lain.

Kita bisa memvisualisasikan kubus tersebut. Bidang DEG adalah bidang diagonal yang memotong kubus. Titik H adalah salah satu sudut yang tidak termasuk dalam bidang DEG. 

Mari kita gunakan sistem koordinat yang lebih standar. Misalkan panjang rusuk kubus adalah s = a * sqrt(2) cm.
Misalkan titik A=(0,0,0), B=(s,0,0), D=(0,s,0), E=(0,0,s).

Maka:
H = (0, s, s)
D = (0, s, 0)
E = (0, 0, s)
G = (s, 0, s)

Persamaan bidang yang melalui D, E, G. 

Kita bisa mencari vektor normal bidang DEG. Vektor DE = E - D = (0, -s, s). Vektor DG = G - D = (s, -s, s).

Vektor normal (n) = DE x DG = 
| i   j   k  |
| 0  -s   s  |
| s  -s   s  |

n = i(-s^2 - (-s^2)) - j(0 - s^2) + k(0 - (-s^2))
n = 0i + s^2j + s^2k = (0, s^2, s^2)

Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (0, 1, 1). Persamaan bidang adalah 0x + 1y + 1z = c. 
Menggunakan titik D=(0,s,0) untuk mencari c: 0 + s + 0 = c, jadi c = s.
Persamaan bidang DEG adalah y + z = s.

Sekarang kita cari jarak dari titik H=(0,s,s) ke bidang y + z - s = 0.
Rumus jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Dalam kasus ini, (x0, y0, z0) = (0, s, s) dan bidangnya adalah 0x + 1y + 1z - s = 0. Jadi A=0, B=1, C=1, D=-s.

Jarak = |(0)(0) + (1)(s) + (1)(s) - s| / sqrt(0^2 + 1^2 + 1^2)
Jarak = |s + s - s| / sqrt(1 + 1)
Jarak = |s| / sqrt(2)

Karena s = a * sqrt(2) cm, maka:
Jarak = (a * sqrt(2)) / sqrt(2)
Jarak = a cm.