Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk dengan panjang 10 cm. Jarak

Jarak titik F ke bidang BEG adalah 10√3 / 3 cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik F ke bidang BEG pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm, kita dapat menggunakan konsep geometri ruang dan proyeksi.

Misalkan kita letakkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius:
A = (0, 0, 0)
B = (10, 0, 0)
C = (10, 10, 0)
D = (0, 10, 0)
E = (0, 0, 10)
F = (10, 0, 10)
G = (10, 10, 10)
H = (0, 10, 10)

Titik yang ditinjau adalah F = (10, 0, 10).
Bidang yang ditinjau adalah bidang BEG.

Untuk mencari jarak titik ke bidang, kita bisa menggunakan rumus jarak titik ke bidang atau menggunakan konsep volume.
Cara yang lebih mudah adalah dengan melihat proyeksi atau menggunakan volume tetrahedron.

Misalkan kita tinjau tetrahedron FBEG. Volume tetrahedron ini dapat dihitung dengan dua cara:
1. Menggunakan rumus volume tetrahedron 1/6 |(a x b) . c| dimana a, b, c adalah vektor dari satu titik ke tiga titik lainnya.
2. Menggunakan rumus Volume = 1/3 * Luas Alas * Tinggi.

Kita bisa menghitung volume tetrahedron FBEG dengan alas segitiga EBG dan tinggi dari F ke bidang EBG.
Atau, kita bisa menghitung volume tetrahedron dengan alas segitiga yang lebih mudah dihitung, misalnya segitiga FEB, dan tinggi dari G ke bidang FEB.

Mari kita gunakan pendekatan volume tetrahedron dengan alas yang tegak lurus dengan rusuk kubus.
Perhatikan tetrahedron DBFG. Titik D=(0,0,0), B=(10,0,0), F=(10,0,10), G=(10,10,10).
Sebenarnya kita ingin menghitung jarak dari F ke bidang BEG. 

Alternatif lain: Gunakan vektor.
vektor EB = B - E = (10, 0, 0) - (0, 0, 10) = (10, 0, -10)
vektor EG = G - E = (10, 10, 10) - (0, 0, 10) = (10, 10, 0)

Untuk mencari vektor normal bidang BEG, kita hitung hasil kali silang EB x EG:
EB x EG =  | i   j   k  |
            | 10  0  -10 |
            | 10 10   0  |
         = i(0 - (-100)) - j(0 - (-100)) + k(100 - 0)
         = 100i - 100j + 100k = (100, -100, 100)

Kita bisa gunakan vektor normal n = (1, -1, 1).

Sekarang kita hitung jarak dari titik F(10, 0, 10) ke bidang yang melalui E(0, 0, 10) dengan vektor normal n = (1, -1, 1).
Persamaan bidang: a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
1(x - 0) + (-1)(y - 0) + 1(z - 10) = 0
x - y + z - 10 = 0

Jarak dari titik (x1, y1, z1) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah |Ax1 + By1 + Cz1 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Jarak F(10, 0, 10) ke bidang x - y + z - 10 = 0 adalah:
|1(10) + (-1)(0) + 1(10) - 10| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2)
|10 + 0 + 10 - 10| / sqrt(1 + 1 + 1)
|10| / sqrt(3)
10 / sqrt(3)

Untuk merasionalkan penyebut:
(10 * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3))
10 * sqrt(3) / 3

Jadi, jarak titik F ke bidang BEG adalah 10√3 / 3 cm.