Tentukan fokus elips berikut: a. 16x^2+25y^2+32x-100y-284=0

a. (-4, 2) dan (2, 2); b. (1, 0) dan (1, -4)

Pembahasan

Untuk menentukan fokus elips dari persamaan yang diberikan, kita perlu mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar elips.

a. 16x² + 25y² + 32x - 100y - 284 = 0
Kelompokkan suku-suku x dan y:
(16x² + 32x) + (25y² - 100y) = 284
Faktorkan koefisien x² dan y²:
16(x² + 2x) + 25(y² - 4y) = 284
Lengkapi kuadrat sempurna:
16(x² + 2x + 1) + 25(y² - 4y + 4) = 284 + 16(1) + 25(4)
16(x + 1)² + 25(y - 2)² = 284 + 16 + 100
16(x + 1)² + 25(y - 2)² = 400
Bagi kedua sisi dengan 400 untuk mendapatkan bentuk standar:
(x + 1)²/25 + (y - 2)²/16 = 1
Dari bentuk standar (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, kita punya h = -1, k = 2, a² = 25 (a=5), dan b² = 16 (b=4).
Karena a² > b², maka sumbu panjangnya horizontal.
Hitung c²: c² = a² - b² = 25 - 16 = 9, sehingga c = 3.
Fokus elips adalah (h ± c, k). Jadi, fokusnya adalah (-1 ± 3, 2), yaitu (-4, 2) dan (2, 2).

b. 4x² + 3y² - 8x + 12y - 32 = 0
Kelompokkan suku-suku x dan y:
(4x² - 8x) + (3y² + 12y) = 32
Faktorkan koefisien x² dan y²:
4(x² - 2x) + 3(y² + 4y) = 32
Lengkapi kuadrat sempurna:
4(x² - 2x + 1) + 3(y² + 4y + 4) = 32 + 4(1) + 3(4)
4(x - 1)² + 3(y + 2)² = 32 + 4 + 12
4(x - 1)² + 3(y + 2)² = 48
Bagi kedua sisi dengan 48 untuk mendapatkan bentuk standar:
(x - 1)²/12 + (y + 2)²/16 = 1
Dari bentuk standar (x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1, kita punya h = 1, k = -2, b² = 12, dan a² = 16 (a=4).
Karena a² > b², maka sumbu panjangnya vertikal.
Hitung c²: c² = a² - b² = 16 - 12 = 4, sehingga c = 2.
Fokus elips adalah (h, k ± c). Jadi, fokusnya adalah (1, -2 ± 2), yaitu (1, 0) dan (1, -4).

Kesimpulan:
a. Fokus elips adalah (-4, 2) dan (2, 2).
b. Fokus elips adalah (1, 0) dan (1, -4).