Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4 cm. Titik P

$2\sqrt{2}$ cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = 4 cm. Titik P adalah titik tengah EH.
Kita perlu mencari jarak dari titik P ke garis BG.

Langkah 1: Tentukan koordinat titik-titik.
Misalkan titik B = (0, 0, 0), C = (4, 0, 0), G = (4, 4, 0), H = (0, 4, 0).
Karena P adalah titik tengah EH, maka E = (0, 0, 4) dan H = (0, 4, 0). Ini sepertinya salah penempatan koordinat untuk kubus standar.

Mari kita gunakan sistem koordinat yang lebih umum untuk kubus:
Misalkan B = (0, 0, 0)
C = (4, 0, 0)
G = (4, 4, 0)
H = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 4)
F = (4, 0, 4)
G = (4, 4, 4) (Perlu dikoreksi, G sudah (4,4,0) di bawah)

Revisi penempatan koordinat untuk kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm:
Misalkan A = (0, 0, 0)
B = (4, 0, 0)
C = (4, 4, 0)
D = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 4)
F = (4, 0, 4)
G = (4, 4, 4)
H = (0, 4, 4)

Titik P adalah titik tengah EH. Koordinat E = (0, 0, 4) dan H = (0, 4, 4).
Koordinat P = ((0+0)/2, (0+4)/2, (4+4)/2) = (0, 2, 4).

Garis BG memiliki vektor arah $\vec{BG} = G - B = (4, 4, 4) - (0, 0, 0) = (4, 4, 4)$.
Vektor $\vec{BP} = P - B = (0, 2, 4) - (0, 0, 0) = (0, 2, 4)$.

Jarak dari titik P ke garis BG dapat dihitung menggunakan rumus:
Jarak = |$\vec{BP} \times \vec{BG}$| / |$\vec{BG}$|

Hitung hasil kali silang $\vec{BP} \times \vec{BG}$:
$\vec{BP} \times \vec{BG} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 2 & 4 \\ 4 & 4 & 4 \end{vmatrix}$
= i(2*4 - 4*4) - j(0*4 - 4*4) + k(0*4 - 2*4)
= i(8 - 16) - j(0 - 16) + k(0 - 8)
= -8i + 16j - 8k
= (-8, 16, -8)

Hitung panjang vektor hasil kali silang:
|$\vec{BP} \times \vec{BG}$| = $\sqrt{(-8)^2 + 16^2 + (-8)^2}$
= $\sqrt{64 + 256 + 64}$
= $\sqrt{384}$
= $\sqrt{64 * 6}$
= $8\sqrt{6}$

Hitung panjang vektor $\vec{BG}$:
|$\vec{BG}$| = $\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2}$
= $\sqrt{16 + 16 + 16}$
= $\sqrt{48}$
= $\sqrt{16 * 3}$
= $4\sqrt{3}$

Hitung jarak:
Jarak = $(8\sqrt{6}) / (4\sqrt{3})$
= $2 * \sqrt{6/3}$
= $2 * \sqrt{2}$

Jadi, jarak titik P ke garis BG adalah $2\sqrt{2}$ cm.