lim ->pi/2 ((4(x-pi)cos^2 x)/(pi(pi-2x)tan(x-pi/2))= ...

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan substitusi. Misalkan $y = x - \frac{\pi}{2}$. Maka ketika $x \to \frac{\pi}{2}$, $y \to 0$. Persamaan limit menjadi:
$$ \lim_{y \to 0} \frac{4(y) \cos^2(y + \frac{\pi}{2})}{\pi(\pi - 2(y + \frac{\pi}{2})) \tan(y)} $$ 
Kita tahu bahwa $\cos(y + \frac{\pi}{2}) = -\sin(y)$ dan $\tan(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)}$. Juga, $\pi - 2(y + \frac{\pi}{2}) = \pi - 2y - \pi = -2y$.
Jadi, limitnya menjadi:
$$ \lim_{y \to 0} \frac{4y (-\sin(y))^2}{\pi(-2y) \frac{\sin(y)}{\cos(y)}} = \lim_{y \to 0} \frac{4y \sin^2(y)}{-2y \pi \frac{\sin(y)}{\cos(y)}} $$ 
$$ = \lim_{y \to 0} \frac{2 \sin(y)}{-\pi \frac{1}{\cos(y)}} = \lim_{y \to 0} \frac{2 \sin(y) \cos(y)}{-\pi} $$ 
Menggunakan identitas $\sin(2y) = 2 \sin(y) \cos(y)$, limitnya adalah:
$$ \lim_{y \to 0} \frac{\sin(2y)}{-\pi} = \frac{\sin(0)}{-\pi} = \frac{0}{-\pi} = 0 $$