lim x->0 (akar(1+x)-1)/(1+x)^3/2 -1)=....

1/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan metode substitusi atau manipulasi aljabar.
Limit yang diberikan adalah: lim x->0 (akar(1+x)-1) / ((1+x)^3/2 -1)

Jika kita substitusi x=0 secara langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Mari kita gunakan substitusi u = 1+x. Ketika x -> 0, maka u -> 1.
Limitnya menjadi: lim u->1 (akar(u)-1) / (u^(3/2) -1)

Sekarang kita dapat memfaktorkan penyebutnya menggunakan perbedaan kubik, a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2). Di sini, kita bisa melihat u^(3/2) sebagai (u^(1/2))^3.
Jadi, u^(3/2) - 1 = (u^(1/2))^3 - 1^3 = (u^(1/2) - 1) ((u^(1/2))^2 + u^(1/2)*1 + 1^2) = (akar(u) - 1) (u + akar(u) + 1).

Substitusikan kembali ke dalam limit:
lim u->1 (akar(u)-1) / [(akar(u) - 1) (u + akar(u) + 1)]

Kita bisa membatalkan faktor (akar(u) - 1) di pembilang dan penyebut (karena u mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1, maka akar(u)-1 tidak sama dengan 0).
lim u->1 1 / (u + akar(u) + 1)

Sekarang substitusikan u = 1:
1 / (1 + akar(1) + 1) = 1 / (1 + 1 + 1) = 1/3.

Jadi, lim x->0 (akar(1+x)-1) / ((1+x)^3/2 -1) = 1/3.