lim x->0(akar(1/x^2-2/x+3-1/x) sama dengan ...

Limit tidak ada

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to 0} \left( \sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 3} - \frac{1}{x} \right)$, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam limit terlebih dahulu. Kita bisa menyatukan suku-suku di dalam akar kuadrat dengan menyamakan penyebutnya menjadi $x^2$: $\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 3 = \frac{1 - 2x + 3x^2}{x^2}$. Sehingga ekspresi di dalam limit menjadi $\sqrt{\frac{1 - 2x + 3x^2}{x^2}} - \frac{1}{x}$. Karena $\sqrt{x^2} = |x|$, dan kita mengambil limit ketika $x \to 0$, kita harus mempertimbangkan kasus $x \to 0^+$ dan $x \to 0^-$. Namun, mari kita coba menyederhanakan dengan cara lain terlebih dahulu. Kita bisa mengalikan dengan sekawan dari ekspresi tersebut untuk menghilangkan akar di pembilang, tetapi akan lebih mudah jika kita menyederhanakan ekspresi di dalam akar terlebih dahulu. Ekspresi: $\sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 3} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{1 - 2x + 3x^2}}{|x|} - \frac{1}{x}$. Jika kita melihat suku pertama, ketika $x$ mendekati 0, $\frac{1}{x^2}$ mendominasi. Mari kita perhatikan ekspresi di dalam akar: $\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 3$. Ketika $x$ sangat kecil, suku $\frac{1}{x^2}$ menjadi sangat besar positif. Suku $\frac{-2}{x}$ akan menjadi sangat besar negatif jika $x > 0$ dan sangat besar positif jika $x < 0$. Mari kita coba menyederhanakan ekspresi di dalam akar menjadi satu pecahan: $\frac{1 - 2x + 3x^2}{x^2}$. Maka limitnya menjadi $\lim_{x\to 0} \left( \frac{\sqrt{1 - 2x + 3x^2}}{|x|} - \frac{1}{x} \right)$. Jika $x \to 0^+$, $|x|=x$, maka limitnya adalah $\lim_{x\to 0^+} \left( \frac{\sqrt{1 - 2x + 3x^2}}{x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x\to 0^+} \frac{\sqrt{1 - 2x + 3x^2} - 1}{x}$. Ini adalah bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau mengalikan dengan sekawannya. Mengalikan dengan sekawan: $\lim_{x\to 0^+} \frac{(\sqrt{1 - 2x + 3x^2} - 1)(\sqrt{1 - 2x + 3x^2} + 1)}{x(\sqrt{1 - 2x + 3x^2} + 1)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{(1 - 2x + 3x^2) - 1}{x(\sqrt{1 - 2x + 3x^2} + 1)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{-2x + 3x^2}{x(\sqrt{1 - 2x + 3x^2} + 1)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x(-2 + 3x)}{x(\sqrt{1 - 2x + 3x^2} + 1)} = \lim_{x\to 0^+} \frac{-2 + 3x}{\sqrt{1 - 2x + 3x^2} + 1} = \frac{-2 + 0}{\sqrt{1 - 0 + 0} + 1} = \frac{-2}{1 + 1} = \frac{-2}{2} = -1$. Jika $x \to 0^-$, $|x|=-x$, maka limitnya adalah $\lim_{x\to 0^-} \left( \frac{\sqrt{1 - 2x + 3x^2}}{-x} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x\to 0^-} \left( \frac{\sqrt{1 - 2x + 3x^2}}{-x} - \frac{-1}{-x} \right) = \lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{1 - 2x + 3x^2} + 1}{-x}$. Ketika $x 	o 0^-$, pembilangnya mendekati $\sqrt{1} + 1 = 2$. Penyebutnya mendekati $0$ dari sisi negatif. Jadi, limitnya adalah $\frac{2}{0^-} = -\infty$. Karena limit dari kanan (-1) dan limit dari kiri (-∞) tidak sama, maka limitnya tidak ada. Namun, jika soalnya adalah $\lim_{x\to 0} (\sqrt{3x^2+4}-2)/x$ atau variasi lain, hasilnya akan berbeda. Asumsi soal asli memiliki kesalahan penulisan dan maksudnya adalah menyederhanakan $\sqrt{1/x^2 - 2/x + 3}$ tanpa pemotongan atau penambahan suku lain. Jika kita mengabaikan suku $-1/x$ dan hanya melihat suku dominan $\sqrt{1/x^2}$ maka hasilnya adalah $|1/x|$. Jika kita mengasumsikan ada kesalahan pada pengetikan soal, dan maksudnya adalah $\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-2x+3}-x)$, hasilnya akan berbeda. Berdasarkan penulisan soal yang ada, $\lim_{x->0}(\sqrt{1/x^2-2/x+3}-1/x)$, mari kita periksa kembali penyederhanaannya. Ekspresi di dalam akar $\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 3$. Jika kita tulis ulang soal menjadi $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-2x+3x^2}-1}{x}$. Hasilnya adalah -1. Namun, jika kita pertimbangkan $\lim_{x\to 0} \sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} + 3} - \frac{1}{x}$. Untuk $x$ positif sangat kecil, $1/x^2$ dominan positif, $-2/x$ dominan negatif. $\sqrt{1/x^2} = 1/x$. Maka $\lim_{x\to 0^+} (1/x - 2/x + 3) - 1/x$. Ini tidak tepat. Coba kita pakai substitusi $y = 1/x$. Ketika $x 	o 0^+$, $y 	o +\infty$. Ketika $x 	o 0^-$, $y 	o -\infty$. Limit menjadi $\lim_{y\to \pm\infty} (\sqrt{y^2 - 2y + 3} - y)$. Untuk $y \to +\infty$: $\lim_{y\to \infty} (\sqrt{y^2 - 2y + 3} - y) = \lim_{y\to \infty} \frac{(\sqrt{y^2 - 2y + 3} - y)(\sqrt{y^2 - 2y + 3} + y)}{\sqrt{y^2 - 2y + 3} + y} = \lim_{y\to \infty} \frac{(y^2 - 2y + 3) - y^2}{\sqrt{y^2 - 2y + 3} + y} = \lim_{y\to \infty} \frac{-2y + 3}{\sqrt{y^2 - 2y + 3} + y}$. Bagi pembilang dan penyebut dengan $y$: $\lim_{y\to \infty} \frac{-2 + 3/y}{\sqrt{1 - 2/y + 3/y^2} + 1} = \frac{-2 + 0}{\sqrt{1 - 0 + 0} + 1} = \frac{-2}{1 + 1} = -1$. Untuk $y \to -\infty$: $\lim_{y\to -\infty} (\sqrt{y^2 - 2y + 3} - y)$. Karena $y$ negatif, $-y$ positif. $\sqrt{y^2} = |y| = -y$. $\lim_{y\to -\infty} (-y - 2y + 3) = \lim_{y\to -\infty} (-3y + 3) = +\infty$. Karena limit kanan (-1) dan limit kiri (+∞) berbeda, maka limitnya tidak ada. Namun, jika soalnya adalah $\lim_{x\to 0} (\sqrt{3x^2+4}-2)/x$, maka: $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3x^2+4}-2}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{3x^2+4}-2)(\sqrt{3x^2+4}+2)}{x(\sqrt{3x^2+4}+2)} = \lim_{x\to 0} \frac{(3x^2+4)-4}{x(\sqrt{3x^2+4}+2)} = \lim_{x\to 0} \frac{3x^2}{x(\sqrt{3x^2+4}+2)} = \lim_{x\to 0} \frac{3x}{\sqrt{3x^2+4}+2} = \frac{0}{\sqrt{4}+2} = \frac{0}{4} = 0$. Berdasarkan soal tertulis $\lim_{x->0}(\sqrt{1/x^2-2/x+3}-1/x)$, mari kita ubah bentuknya: $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1-2x+3x^2}}{|x|} - \frac{1}{x}$. Jika $x 	o 0^+$, $\lim_{x\to 0^+} \frac{\sqrt{1-2x+3x^2}-1}{x} = -1$. Jika $x 	o 0^-$, $\lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{1-2x+3x^2}}{-x} - \frac{1}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt{1-2x+3x^2}+1}{-x} = \frac{2}{0^+} = +\infty$. Limit tidak ada. Ada kemungkinan soal yang dimaksud adalah $\lim_{x\to 0}(\sqrt{3+x}-\sqrt{3})/x$ atau sejenisnya yang mengarah pada hasil tertentu. Namun, dengan soal seperti yang tertulis, hasilnya adalah limit tidak ada karena limit kiri dan kanan berbeda.