lim _(x -> 0) (cos 4 x-1)/(cos 2 x-1)=..

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan identitas trigonometri dan L'Hopital's Rule.
Identitas yang relevan adalah:
1 - cos(2θ) = 2 sin²(θ)
Maka, cos(4x) - 1 = -2 sin²(2x) dan cos(2x) - 1 = -2 sin²(x).

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->0) [-2 sin²(2x)] / [-2 sin²(x)]
= lim (x->0) [sin²(2x)] / [sin²(x)]

Kita tahu bahwa sin(2x) = 2 sin(x) cos(x).
Maka, sin²(2x) = (2 sin(x) cos(x))² = 4 sin²(x) cos²(x).

Substitusikan kembali ke dalam limit:
= lim (x->0) [4 sin²(x) cos²(x)] / [sin²(x)]
= lim (x->0) 4 cos²(x)

Gantikan x dengan 0:
= 4 cos²(0)
= 4 * (1)²
= 4

Alternatif menggunakan L'Hopital's Rule karena bentuknya 0/0:
lim (x->0) (cos 4x - 1) / (cos 2x - 1)
Turunan dari cos 4x - 1 adalah -4 sin 4x.
Turunan dari cos 2x - 1 adalah -2 sin 2x.

= lim (x->0) (-4 sin 4x) / (-2 sin 2x)
= lim (x->0) 2 (sin 4x) / (sin 2x)

Kita bisa gunakan lagi L'Hopital's Rule:
Turunan dari 2 sin 4x adalah 2 * 4 cos 4x = 8 cos 4x.
Turunan dari sin 2x adalah 2 cos 2x.

= lim (x->0) (8 cos 4x) / (2 cos 2x)
= (8 cos 0) / (2 cos 0)
= (8 * 1) / (2 * 1)
= 8 / 2
= 4